Симпсоны и их математические секреты

Но Коэн, помимо математики, хотел включить в эпизод научные уравнения, поэтому связался со своим школьным другом Дэвидом Шиминовичем, который не бросил академическую стезю и стал астрономом Колумбийского университета.

Первое уравнение на доске – в значительной степени работа Шиминовича, и оно позволяет составить прогноз массы M(H⁰) бозона Хиггса, элементарной частицы, гипотеза о существовании которой впервые была выдвинута в 1964 году. Уравнение представляет собой забавное сочетание различных фундаментальных параметров, а именно постоянной Планка, гравитационной постоянной и скорости света. Если вы найдете их в справочниках и подставите в уравнение[9], то масса бозона Хиггса будет равна 775 гигаэлектронвольт (ГэВ), что гораздо больше значения 125 ГэВ, полученного в 2012 году, когда бозон Хиггса был открыт. Тем не менее значение 775 ГэВ являлось неплохой догадкой, особенно если учесть, что Гомер – непрофессиональный изобретатель и делал свои расчеты за четырнадцать лет до того, как специалистам Европейского центра ядерных исследований (CERN) удалось отследить эту неуловимую частицу.

Второе уравнение… придется на какое-то время отложить. Это самая интригующая с математической точки зрения строка, поэтому стоит немного подождать, чтобы проанализировать ее более тщательно.

Третье уравнение касается плотности Вселенной, которая определяют ее судьбу. Если Ω(t₀) будет больше 1, как сначала написал Гомер, то Вселенная в конце концов взорвется под собственным весом. Для того чтобы продемонстрировать это космическое событие на местном уровне, в подвале Гомера – вскоре после того как зрители видят это уравнение – происходит небольшой взрыв.

Затем Гомер меняет знак неравенства, превращая уравнение Ω(t₀) > 1 в Ω(t₀) < 1. С космологической точки зрения новое уравнение подразумевает, что Вселенная будет расширяться вечно, порождая нечто сродни бесконечного космического взрыва. Сюжет отображает и это явление, и как только Гомер меняет знак неравенства, в подвале происходит мощный взрыв.

Четвертая строка на доске представляет собой последовательность четырех математических рисунков, показывающих, как пончик превращается в сферу. Эта строка относится к области математики под названием «топология». Для того чтобы понять суть рисунков, необходимо знать, что согласно правилам топологии квадрат и круг идентичны. Их считают гомеоморфными, или топологическими близнецами, поскольку квадрат, нарисованный на резиновом листе, можно растянуть и превратить в круг. На самом деле топологию иногда называют «геометрией на резиновом листе».

Топологов не интересуют углы и расстояния: очевидно, что в процессе растягивания резинового листа они меняются. Но их волнуют более фундаментальные свойства. Например, фундаментальное свойство буквы А – что она, по сути, представляет собой петлю с двумя ножками. Буква R – тоже петля с двумя ножками. Следовательно, буквы A и R гомеоморфны, так как букву A, нарисованную на резиновом листе, можно преобразовать в букву R посредством соответствующего растягивания

Однако никакое растягивание не поможет превратить букву A в букву H ввиду того, что эти буквы принципиально отличаются друг от друга: A состоит из одной петли и двух ножек, а H вообще не имеет петель. Единственный способ превратить букву A в H – разрезать резиновый лист у верхушки A, что разомкнет петлю. Однако в топологии разрезание запрещено.

Принципы геометрии на резиновом листе можно расширить на три измерения, что объясняет остроту, будто тополог – это тот, кто не видит разницы между пончиком и кофейной чашкой. Другими словами, у кофейной чашки одно отверстие, образованное ручкой, и у пончика одно отверстие, прямо посередине. Следовательно, кофейную чашку, сделанную из эластичной глины, можно растянуть и скрутить в форме пончика. Это и делает их гомеоморфными.

Напротив, пончик невозможно превратить в сферу, поскольку в ней нет отверстий, и никакое растягивание, сжатие и скручивание не помогут удалить дыру, которая является неотъемлемой частью пончика. В действительности тот факт, что пончик отличается от сферы в топологическом смысле, – доказанная математическая теорема. Тем не менее каракули Гомера на доске говорят о том, что ему будто бы удалось совершить невозможное, так как рисунки отображают успешную трансформацию пончика в сферу. Но как?

Хотя в топологии разрезание запрещено, Гомер решил, что откусывание вполне приемлемо. В конце концов, исходный объект – пончик, так кто же удержится от соблазна немного от него откусить? Если откусить от пончика несколько кусочков, он будет похож на банан, который можно превратить в сферу посредством стандартного растягивания, сжатия и скручивания. По всей вероятности, профессиональные топологи пришли бы в ужас от того, что их любимая теорема превратилась в пепел, но согласно личным правилам топологии Гомера, пончик и сфера идентичны. Возможно, корректнее было бы назвать их не гомеоморфными, а гомероморфными.

* * *