Симпсоны и их математические секреты

В эпизоде «Игра до победного конца» (Dead Putting Society, сезон 2, эпизод 6; 1990 год) рассказывается о турнире по мини-гольфу, в финале которого Барт Симпсон играет против Тодда Фландерса, сына соседа Неда Фландерса. Ставки в игре очень высоки, поскольку отца проигравшего ждет незавидная участь: ему придется косить газон победителя в платье своей жены.

Во время напряженной перепалки Гомер и Нед, для того чтобы укрепить свои позиции, апеллировали к бесконечности:

Гомер. Завтра в это время ты наденешь высокие каблуки!

Нед. Нет, ты наденешь.

Гомер. Нет.

Нед. Наденешь.

Гомер: Нет.

Нед. Наденешь.

Гомер. Нет до бесконечности!

Нед. Наденешь до бесконечности плюс один!

Гомер. Ой!

Я спросил сценаристов, кто из них предложил идею этого диалога, но никто так и не вспомнил, что неудивительно, ведь сценарий был написан больше двадцати лет назад. Тем не менее все сошлись во мнении, что эта перепалка двух отцов нарушила весь процесс написания сценария, поскольку породила дискуссию о природе бесконечности. Так все же бесконечность плюс один больше бесконечности или нет? Данное утверждение имеет смысл или оно бессмысленно? Можно ли его доказать?

В ходе поиска ответов на эти вопросы сидевшие за столом математики упомянули имя Георга Кантора, родившегося в Санкт-Петербурге в 1845 году. Кантор был первым математиком, который действительно пытался осмыслить понятие бесконечности. Однако его объяснения носили исключительно технический характер, поэтому миссия интерпретировать результаты исследований Кантора была возложена на блестящего немецкого математика Давида Гильберта (1862–1943). Гильберт умел находить аналогии, которые делали идеи Кантора о бесконечности более удобоваримыми и доступными для понимания.

Одно из самых известных объяснений бесконечности включало в себя воображаемое здание, известное как отель Гильберта – достаточно большое, с бесконечным количеством номеров, обозначенных числами 1, 2, 3 и т. д. В один особенно оживленный вечер, когда все номера заняты, появляется новый гость, не забронировавший номер заранее. К счастью, владелец отеля доктор Гильберт знает, как решить проблему. Он просит всех постояльцев перебраться из текущего номера в следующий. То есть жилец номера 1 переходит в номер 2, жилец из номера 2 – в номер 3 и т. д. У всех гостей по-прежнему есть номера, но номер 1 теперь свободен и в нем может поселиться новый гость. Этот сценарий подразумевает (и тому есть более строгое доказательство), что бесконечность плюс один равна бесконечности – пожалуй, весьма парадоксальный, но все же неоспоримый вывод.

Это значит, что Нед Фландерс неправ, полагая, что он может взять верх над бесконечностью Гомера, прибавив к ней единицу. В действительности Фландерс оказался бы неправ, даже если бы попытался выиграть спор, прибавив бесконечность к бесконечности, что доказывает еще одна сцена из отеля Гильберта.

Отель снова переполнен, и тут прибывает бесконечно большой автобус. Его водитель спрашивает доктора Гильберта, может ли отель вместить всех пассажиров. Гильберт невозмутим. Он просит всех своих нынешних постояльцев перебраться в номер с числом в два раза больше. То есть гость из номера 1 переходит в номер 2, гость из номера 2 переходит в номер 4 и т. д. В результате имеющаяся бесконечность гостей занимает только четные номера, а бесконечное количество нечетных номеров освобождается. Теперь отель сможет предоставить номера для бесконечного количества пассажиров автобуса.

Пример опять кажется парадоксальным. Возможно, вы даже думаете, что это полная бессмыслица, не более чем оторванные от жизни философские рассуждения. Тем не менее выводы по поводу бесконечности представляют собой нечто большее, чем просто софистику. Математики делают их последовательно, шаг за шагом, выстраивая строгий, прочный фундамент.

Эту мысль хорошо иллюстрирует анекдот, в котором ректор университета жалуется на декана физического факультета: «Почему физикам всегда нужно столько денег на лаборатории и оборудование? Почему вы не можете быть как математический факультет? Математикам нужны только карандаши, бумага и корзина для бумаг. Или еще лучше: почему бы вам не быть как философский факультет? Они просят только карандаши и бумагу».

Этот анекдот высмеивает философов, которым не присуща научная строгость математиков. Математика – это кропотливый поиск истины, потому что каждая новая гипотеза подвергается безжалостной проверке, а затем либо вводится в общую схему знаний, либо выбрасывается в корзину для мусора. Некоторые математические концепции бывают абстрактными и загадочными, но даже они должны пройти процесс тщательного анализа.

Таким образом, отель Гильберта наглядно продемонстрировал, что:

бесконечность = бесконечность + 1

бесконечность = бесконечность + бесконечность