Симпсоны и их математические секреты

Например, частота встречаемости буквы – одна из ее самых важных особенностей. В частности, буквы e, t и a чаще всего встречаются в тексте на английском языке, тогда как самые распространенные символы в инопланетном сообщении – это и : оба символа встречаются по шесть раз каждый. Следовательно, они, по всей вероятности, используются вместо e, t или a, но как определить точнее? Полезная подсказка дана в первом слове, , в котором повторяется символ . В английском языке не так уж много слов с повторением букв «aa» или «tt», но зато масса с буквами «ee», например been, seen, teen, deer, feed и fees. Следовательно, есть все основания предположить, что = e. Проделав еще немного подобной детективной работы, можно расшифровать это сообщение так: «Need extra cash? Melt down your old unwanted humans. We pay top dollar» («Нужны наличные? Сдайте своих старых ненужных людей. Мы платим большие деньги»).

Неудивительно, что поклонники «Футурамы» из числа знатоков математики легко взломали этот инопланетный шифр, поэтому Джефф Уэстбрук (который писал сценарии как для «Футурамы», так и для «Симпсонов») разработал его более сложную версию.

Усилия Уэстбрука привели к созданию текстового шифра с автоключом, напоминающего шифр, впервые изобретенный Джироламо Кардано (1501–1576), одним из величайших итальянских математиков эпохи Возрождения. Шифр работает так: сначала присваиваются числа всем буквам алфавита: A = 0, B = 1, C = 2, D = 3, E = 4, …, Z = 25. После этого процесс шифрования требует выполнения еще двух шагов. Во-первых, каждую букву необходимо заменить на сумму чисел, соответствующих всем буквам всех слов до данной буквы включительно. Следовательно, словосочетание BENDER OK преобразуется следующим образом:

Второй и последний этап шифрования подразумевает замену каждой суммы чисел соответствующим символом из следующего списка:

Существует всего 26 символов, которым присвоены числа от 0 до 25. Тогда какой же символ соответствует буквам R, O и K, суммы чисел которых составляют 42, 56 и 66? Его следует выбирать по такому правилу[52]: числа больше 25 необходимо сокращать на 26 снова и снова до тех пор, пока они не попадут в диапазон от 0 до 25. Следовательно, чтобы найти символ для буквы R, мы вычитаем 26 из 42, что дает нам 16, а это число соответствует символу . Применив то же правило к оставшимся буквам, словосочетание BENDER OK будет зашифровано в таком виде: .

Однако если бы перед BENDER OK были другие слова, то это словосочетание было бы зашифровано совсем иначе, поскольку изменилась бы общая сумма чисел, соответствующая каждой букве. Все это сделало разработанный Уэстбруком шифр с автоключом крайне трудным для взлома. Он использовал его для кодирования различных сообщений в нескольких эпизодах, и они стали серьезным вызовом тем поклонникам «Футурамы», которые считали своим хобби взлом кодов, появляющихся в мультсериале. В действительности прошел целый год, прежде чем кто-то из зрителей «Футурамы» таки расшифровал эти сообщения.

* * *

Хотя вполне резонно было ожидать появления сложных зашифрованных сообщений в эпизоде «Футурамы» под названием «Код да Винчи» (The Duh-Vinci Code, сезон 6, эпизод 5; 2010 год), его математический аспект связан с совершенно другой областью математики. В этом эпизоде члены команды «Межпланетного экспресса» анализируют детали картины Леонардо да Винчи «Тайная вечеря» и вдруг замечают нечто необычное в изображении Иакова, одного из апостолов, сидящего у левого края стола. Мощная рентгеновская установка позволяет определить, что в первоначальном варианте да Винчи нарисовал деревянного робота. Для того чтобы выяснить, был ли Иаков первым роботом, члены экипажа отправляются в Рим, где находят могилу святого Иакова. Важно то, что они находят также склеп с такой зашифрованной надписью:

II^XI − (XXIII • LXXXIX)

На первый взгляд эти римские числа могут показаться обычной датой. Но если присмотреться повнимательнее, можно увидеть, что надпись включает скобки, знак минус и точку, символизирующую знак умножения. Здесь присутствует даже крайне необычное представление римских чисел: одно римское число, возведенное в степень, представленную другим римским числом (II^XI). Если записать все эти римские числа в более привычном виде, мы начнем понимать смысл надписи:

II^XI − (XXIII • LXXXIX)

2¹¹ − (23 × 89)

Поскольку 2¹¹ = 2048, а 23 × 89 = 2047, результат вычитания равен 1. В этом нет ничего особенного, но если немного видоизменить уравнение, оно покажется нам знакомым:

2¹¹ – (23 × 89) = 1

2¹¹ – 1= (23 × 89)

2¹¹ – 1 = 2047