Современная космология: философские горизонты

В современной науке проблема бесконечности стала чрезвычайно многогранной. Бурное развитие математики за последние сто лет привело к открытию ряда новых, чрезвычайно интересных аспектов бесконечного, а успехи космологии показывают, что они имеют реальные прообразы в природе. Легче всего заниматься бесконечностью, если обо всем этом ничего не знать: невинность рождает отвагу. Многогранность проблемы рождает также соблазн расчленить бесконечность на разные, мало связанные бесконечности-омонимы (философскую, космологическую, ряд математических). Если учесть еще, что термин «Вселенная» только в физико-математических науках применяется в пяти — шести разных значениях, то оказывается возможным придавать самый различный смысл словосочетанию «бесконечность Вселенной».

По-видимому, не было сделано попыток классификации типов бесконечности или хотя бы составления их перечня. Предлагаемый ниже обзор, вероятно, также не является исчерпывающим.

Выдвигаемая на обсуждение симпозиума точка зрения в известном смысле противоположна очерченной выше. Делается попытка найти единство в многообразии, трактовать различные аспекты бесконечности в математике, физике, астрономии и философии как различные отражения одной и той же реальности — реальной бесконечности реальной Вселенной.

§ 2. Типы бесконечности

2.1. Практическая бесконечность отличается тем, что а) является исторически первым и логическим простейшим представлением о бесконечности; б) несмотря на это чаще всего и вполне успешно применяется во всех физических приложениях математики, кроме, разве, космологических; в) вместе с тем имеет меньше всего отношения к бесконечности в более строгом ее понимании.

Практически-бесконечное означает «достаточно большое (малое, близкое, далекое)». Что считать здесь доста-точным, это всецело зависит от конкретных условий рассматриваемой задачи. Бесконечно большими в этом смысле могут быть и расстояния в 10¹³, и в 10^-13 см (первое в астрономии, второе — в физике элементарных частиц). С точки зрения математика (во всяком случае, представителя классической математики), первая величина ничуть не ближе к бесконечно большому, чем вторая, а вторая представляет бесконечно малую ничуть не в большей мере, чем первая.

Несмотря на кажущуюся примитивность понятия практической (физической) бесконечности, уже в связи с ним могут быть поставлены некоторые далеко идущие вопросы.

2.1.1. Уже здесь мы сталкиваемся с противоречивостью бесконечного, с необходимостью рассматривать взаимоисключающие противоположности в их нераздельном единстве.

Математика не допускает замены бесконечного каким бы то ни было конечным, сколь бы велико (мало) ни было последнее, поскольку они суть взаимоисключающие противоположности. Физика же делает такую замену буквально на каждом шагу, и получающиеся при этом результаты неизменно оказываются правильными. Этим демонстрируется весьма убедительным образом если не тождество, то единство противоположностей.

Можно задаться вопросом о том, какова физическая или общекосмологическая подоплека того, что это оказывается возможным, что здесь практический разум в силах преодолеть антиномию чистого разума?

Формальная сторона вопроса очевидна: замена бесконечного конечным возможна потому, что результаты, которыми интересуется физика, являются приближенными (хотя и «сколь-угодно» точными). Речь идет не об этом. Можно представить себе такое устройство Вселенной, при котором полем на «достаточно большом» расстоянии от источника нельзя было бы пренебречь в силу, например, слишком тесного расположения источников (идеализация: «начинка» Вселенной — совершенная сплошная среда). Возможно, что этот случай в какой-то мере реализуется даже в нашей Вселенной — в области очень малых пространственно-временных масштабов (и, соответственно, очень энергичных взаимодействий). Область применимости понятия практической бесконечности так или иначе ограничена также «сверху», в космологических масштабах.

Забегая вперед, можно высказать утверждение об ограниченной, в принципе, применимости и более полных (совершенных, строгих) понятий бесконечности.

2.1.2. Поскольку в определенных пространственно-временных масштабах оказывается возможным пользоваться вместо бесконечного достаточно большим или достаточно малым конечным, встает вопрос, не следует ли попытаться и в математике перекинуть некий мост через пропасть, отделяющую бесконечное от конечного?

Интересную попытку такого рода мы находим, например, у Бореля[357] в связи с проблемой вероятности и достоверности в тех случаях, когда в игру вступают числа «сверхастрономические». Проблема, которая, по-видимому, еще очень далека от решения, состоит в следующем: не должна ли математика быть «исправлена» в том смысле, чтобы такие «сверхастрономические» числа можно было бы считать не конечными, а бесконечными? В этом случае практическая бесконечность стала бы разновидностью, аспектом математической бесконечности.