Статьи и речи

Все, что нужно для построения правильной математической теории материальной системы, состоит в том, чтобы её свойства можно было ясно определить и чтобы они не противоречили друг другу. Это — существенно необходимо. Существует ли в действительности субстанция с такими свойствами — это вопрос, который приходится рассматривать только тогда, когда мы захотим сделать практические приложения результатов математической теории. Свойства нашей совершённой жидкости ясно определены и согласуются друг с другом, и из математической теории мы можем вывести замечательные результаты, причём некоторые из них можно грубо иллюстрировать при помощи жидкостей, которые отнюдь несовершенны в смысле отсутствия вязкости, как, например, воздух и вода.

Движение жидкости называется безвихревым в том случае, когда оно таково, что если бы сферическая часть жидкости внезапно отвердела, то образованная таким образом твёрдая сфера не получила бы вращения вокруг некоторой оси. Когда движение жидкости вращательное, то ось и угловая скорость вращения некоторой малой части жидкости суть ось и угловая скорость малой сферической части, внезапно отвердевшей.

Математическое выражение этих определений таково. Пусть u, v, w суть компоненты скорости жидкости в точке (x, y, z) и пусть

=

v

z

-

w

y

,

=

w

x

-

u

z

,

=

u

y

-

v

x

…,

(1)

тогда , , суть компоненты скорости вращения жидкости в точке (x, y, z). Ось вращения совпадает с направлением результирующей , и , а скорость вращения измеряется этой результирующей.

Линия, проведённая в жидкости так, чтобы в каждой точке линии

1

dx

ds

=

1

dy

ds

=

1

dz

ds

=

1

…,

(2)

(где s — длина линии до точки x, y, z) называется линией вихря. Её направление во всех точках совпадает с направлением оси вращения жидкости. Теперь мы можем доказать теорему Гельмгольца, что точки жидкости, находящиеся в некоторый момент на одной и той же вихревой линии, будут лежать на той же линии во все время движения жидкости.

Уравнения движения жидкости имеют вид

u

t

+

dp

dx

+p

dV

dx

=0…,

(3)

где — плотность, которую в случае нашей однородной несжимаемой жидкости мы можем принять равной единице; оператор /_t изображает быстроту изменения величины, которой он предшествует, в точке, движущейся вперёд с жидкостью, так что

u

t

=

du

dt

+u

du

dx

+v

du

dy

+w

du

dz

…,

(4)

где p — давление, а V — потенциал внешних сил. Есть ещё два других уравнения того же вида, соответствующих осям y и z. Дифференцируя по z уравнение, соответствующее оси y и по y — уравнение, соответствующее оси z, и вычитая второе из первого, находим

d

dz

v

t

-

d

dy

w

t

=0… .

(5)

Выполняя дифференцирование и обращаясь к уравнениям (1) и к условию несжимаемости

du

dx

+

dv

dy

+

dw

dz

=0,

(6)

находим

t

=

u

x

+

u

y

+

u

z

.

(7)

Пусть теперь вихревая линия проведена в жидкости так, чтобы она всегда начиналась в одной и той же части жидкости. Компоненты скорости в данной точке суть u, v, w. Найдём компоненты скорости точки движущейся вихревой линии в расстоянии ds от данной точки, где

ds=d.

(8)

Координаты этой точки суть

x+d,

y+d,

z+d,

(9)

а компоненты её скорости

u+

t

d,

v+

t

d,

w+

t

d.

(10)

Рассмотрим первую из этих слагающих. В силу уравнения (7) мы можем написать её так:

u+

u

x

d+

u

y

d+

u

z

d,

(11)

или

u+

u

x

dx

d

d+

u

y

dy

d

d+

u

z

dz

d

d,

(12)

или

u+

du

d

d

(13)

Но это есть выражение значения компонента u скорости самой жидкости в данной точке, и то же можно доказать и относительно других компонент.

Итак, скорость второй точки вихревой линии тождественна скорости жидкости в данной точке. Другими словами, вихревая линия следует вместе с жидкостью, и всегда состоит из одного и того же ряда жидких частиц. Следовательно, вихревая линия не есть просто математический символ, но имеет физическое существование, непрерывное во времени и в пространстве.

Дифференцируя уравнения (1) по x, y и z и, складывая результаты, получаем уравнение

Это — уравнение одного вида с уравнением (6), выражающим условие течения жидкости, имеющей постоянную плотность. Следовательно, если вообразим себе жидкость, совершенно независимую от первоначальной жидкости, для которой компоненты скорости суть , , , то воображаемая жидкость будет течь без изменения её плотности.

Представим себе теперь замкнутую кривую в пространстве, и пусть проведены вихревые линии из каждой её точки в обе стороны. Эти вихревые линии образуют трубчатую поверхность, называемую вихревой трубкой или вихревой нитью. Так как воображаемая жидкость течёт по вихревым линиям без изменения плотности, то количество, протекающее в единицу времени через какое угодно сечение одной и той же вихревой трубки, должно быть одинаково. Следовательно, для всякого сечения вихревой трубки произведение площади сечения на среднюю скорость вращения одно и то же. Это количество называется напряжением вихревой трубки.