Статьи и речи

Согласно построению, каждая из функций V_n⁽ⁱ⁾ обращается в 1 на (σ). Для доказательства того, что таким же свойством обладает и предельная функция V Пуанкаре вынужден наложить некоторое ограничение на поверхность проводника (σ). Именно, он предполагает, что в каждой точке этой поверхности существует определённая касательная плоскость и два определённых отличных от нуля радиуса кривизны. Эти ограничения позволяют для любой точки M₀ поверхности проводника (σ) построить сферу (S), целиком лежащую внутри (σ) и касательную к (σ) в точке M₀. Если C —центр сферы (S) и r — её радиус, то функция -^r/_MC, рассматриваемая как функция от M, гармонична вне (S) и обращается в 1 на (S). Поэтому функция u(M)=V_n(M)- ^r/_MC, где V_n(M) — потенциал точки M, получающийся из V₀(M) после n операций выметания, будет потенциалом в точке M поля, порождаемого положительными зарядами, лежащими вне (S) и отрицательного заряда -r, сконцентрированного в центре сферы (S). В силу этого вне (S) функция u может иметь лишь максимумы, и так как U|_S=0, то вне (S U>0), т. е. V_n(M) > ^r/_MC. Таким образом, вне (S) ^r/_MC < V_n ≤ V < 1, и при M _→ M₀ будет V(M) _→ V(M₀)=1. Тем самым доказано существование функции, гармонической вне заданного проводника (σ) и обращающейся в 1 на поверхности этого проводника, т. е. установлено существование решения основной задачи электростатики для указанного класса поверхностей.

С помощью метода изображений Томсона эта задача даёт возможность установить существование функции Грина, а значит, и решить внутреннюю задачу Дирихле.

Мы не станем останавливаться на некоторых остроумных усовершенствованиях метода выметания, сделанных Пуанкаре в этом же мемуаре. Укажем лишь, что Пуанкаре удаётся снять некоторые ограничения на рассматриваемые им поверхности и предложить такое видоизменение метода выметания, которое позволяет непосредственно (т. е. минуя построение функции Грина) доказать принцип Дирихле для указанного выше класса поверхностей при условии непрерывности функции, входящей в краевое условие задачи Дирихле.

Высказанные в связи с этим идеи Пуанкаре привели к глубокому проникновению в теорию потенциала методов теории функций, связанных с понятиями меры и ёмкости множеств, с теорией суб- и супергармонических функций, благодаря чему теория потенциала обогатилась новыми обобщениями в постановке и решении её задач.

В третьем из упомянутых выше мемуаров, вышедшем в 1896 г., Пуанкаре определяет некоторый класс поверхностей, содержащий выпуклые поверхности, для которого методы Неймана и Робэна сохраняют ещё свою силу. Для этих поверхностей Пуанкаре устанавливает следующее: если W — потенциал двойного слоя с непрерывной плотностью ν≠const, то отношение J/J' интегралов вида ∫(ΔW)²𝑑i, взятых соответственно по внутренности и внешности (S), заключено в конечных и отличных от нуля пределах, не зависящих от νv. Опираясь на это предложение, Пуанкаре установил принцип Неймана для всех введённых им поверхностей.

Заслуга Пуанкаре в том, что он впервые обратил внимание на связь между принципом Неймана и существованием конечных и отличных от нуля пределов отношения J/J'. Именно эта связь послужила исходным пунктом в исследованиях Стеклова и Зарембы, которые, опираясь на основополагающие работы Ляпунова, смогли обосновать применимость методов Неймана и Робэна ко всем поверхностям Ляпунова. Метод Пуанкаре, как и многие другие методы решения электростатических задач, которыми Максвелл непосредственно не занимался, дополняли стройное здание электродинамики, понимаемой в широком смысле.

У. И. Франкфурт, М Г. Шраер

Теория цветов в исследованиях Максвелла

В первые годы своей научной деятельности Д. К. Максвелл активно интересовался проблемами, связанными с теорией цветов.

Следует отметить, что в то время теория цветов только складывалась. Первые работы в этой области относятся, правда, ещё к XVII в. и были выполнены в основном Ньютоном. XVIII век не внёс ничего существенного в изучение этой проблемы. И только в XIX в. возрождается интерес к ней и появляются многочисленные теоретико-экспериментальные работы. Ещё короче была история вопросов, связанных с цветовой слепотой: она впервые была описана в XIX в. известным английским химиком Дальтоном, который обнаружил у себя недостаток в цветовом восприятии.