Стол находок утерянных чисел

…Прощание было трогательным. До самого конца берёзовой аллеи нас сопровождала чудесная музыка. Голоса незримого хора взлетали как птицы. Бедные пленники ликовали за тех, кто от плена избавился. И, ещё раз оценив их благородство, мы пообещали им вернуться и расколдовать всех. Правда, не прежде, чем завершим операцию «Пуся» и благополучно вернём Главному терятелю его утраченное сокровище.

КОЕ-ЧТО О ПРИЗНАКАХ ДЕЛИМОСТИ

По дороге в лабораторию Пуся задержался у цирковой рекламы. Там была нарисована девочка, обучающая грамоте собачку.

Собачка составляла слова из детских кубиков с азбукой и успела уже сложить имя своей дрессировщицы.

На Пусю это произвело неизгладимое впечатление.

Реклама давно скрылась из виду, а он всё ещё оглядывался и был до того рассеян, что, против обыкновения, не прислушивался к нашей беседе. А жаль! Ведь мы говорили о признаках делимости целых чисел, и ему они тоже могут пригодиться. Как-никак Пуся — считающая собака!

Между прочим, двузначное число, которое он расколдовал в берёзовой роще, тоже связано с одним из признаков делимости. Если помните, по условию оно нечётное и делится на 5. А на 5 всегда делятся числа, оканчивающиеся пятёркой или нулём. Правда, нулём оканчиваются числа чётные… Стало быть, Пусино число 75 тоже делится на 5. Но это не всё. Цифры этого числа 7 и 5 в сумме составляют 12. Легко понять, что 12 делится на три. А всякое число, сумма цифр которого кратна трём, тоже непременно делится на 3. К примеру, возьмём число 2607. Сумма его цифр 15 (2 + 6 + 0 + 7 = 15). 15 на 3 делится. Значит, и всё число тоже…

Вы, надеюсь, понимаете, что разговор о признаках делимости я затеял больше для девочки. Но и Главный терятель не остался к нему равнодушным. Он вмешался в беседу при первой же возможности и заявил, что очень любит признак делимости на 7. По его мнению, он очень прост. Допустим, надо узнать, делится ли на 7 число 154. Для этого умножаем последнюю цифру 4 на 2. Получим 8. Вычтем из восьми предыдущую цифру 5. Получим 3. Снова умножим 3 на два. Получим 6. Теперь прибавим к шести уже первую цифру — 1. Получим 7. Разумеется, 7 на 7 делится. Значит, на 7 делится и число 154.

— И это вы называете простым признаком? — усмехнулась девочка. — По мне куда проще прямо разделить 154 на 7.

— Конечно, проще, — поддакнул Главный терятель. — Но только в том случае, когда мы имеем дело с небольшим числом. А если с большим? С девятизначным? Или того больше? Вообще, — перебил он себя, — семь — интереснейшее число. Во-первых, оно простое. Ни на кого, кроме себя и единицы, не делится…

— Во-вторых? — прищурилась девочка.

— Во-вторых, его без конца поминают в пословицах и поговорках. На семь бед — один ответ. Семь раз отмерь — раз отрежь. Ммм… Ну и другие…

— Семь пятниц на одной неделе, — затараторила девочка, — семеро с ложкой — один с плошкой, семеро одного не ждут, семь пядей во лбу, на седьмом небе, семь вёрст до небес, за семь вёрст киселя хлебать, семимильными шагами, за семью горами, за семью замками, за семью печатями…

— Тише, тише, — остановил я её, смеясь. — Дай и мне слово вставить. Семёрок ещё в заглавиях много. Белоснежка и семь гномов. Великолепная семёрка. Цветик-семицветик. Волк и семеро козлят… И ещё вот что: семь, хоть и не совершенное число, а стоит всё-таки сразу после совершенного — после шестёрки. А второе совершенное число 28 делится на 7.

— Скажите, пожалуйста, а я и не заметил! — умилился Главный терятель. — Хорошо бы и тут покопаться в истории. Может быть, она подскажет, с чего это люди так неравнодушны к семёрке?

— Только не сейчас, — запротестовала девочка. — Сейчас мне хочется узнать, с какими признаками делимости связано число 248. То самое, что я расколдовала. Прежде всего, оно чётное. Значит, делится на 2…

— Верно, — подтвердил я. — И ещё: две последние цифры образуют число 48. Сразу видно, что 48 делится на 4. И это первый признак, что и всё число тоже делится на 4.

— А моё расколдованное число связано с признаком делимости на 9, — снова вмешался Главный терятель. — Кстати, что это за число? Вы не запомнили?

— Не беспокойтесь, — утешил я его, — это 432. Сумма его цифр делится на 9 (4 + 3 + 2 = 9), а раз так, значит, и всё число тоже. Кроме того, раз оно чётное, значит, делится на 2…

— И на 4, — сообразила девочка. — Две последние цифры образуют число 32. 32 делится на 4, значит, и всё число тоже.

— Остаётся выяснить, на что делится моё число — 1331, — улыбнулся я.

— На 2 не делится, — сказал Главный терятель. — Нечётное.

— На 4 тоже, — подхватила девочка. — Последние две цифры образуют число 31…

— На три тоже не делится, — продолжал я. — И на 9 тоже. Ведь сумма его цифр 8. А 8 ни на три, ни на 9 не делится…

— Может быть, оно вообще ни на что не делится? — пошутил Главный терятель.

— Не надейтесь, — возразил я. — Оно делится на 11. Почему я так думаю? Да потому, что сумма его цифр, стоящих на нечётных местах, равна сумме цифр, стоящих на чётных: 1+3 = 3+1. И это частный случай делимости на 11.

— А общий какой?