Страницы истории науки и техники

Ньютон рассматривал математику как абстрагированное отображение физических (механических) процессов. Он ввел два типа переменных величии: независимую переменную (аргумент), под которой понимал, учитывая, что все процессы и явления совершаются во времени, абсолютное время, и зависимую переменную (функцию)[135], однозначно определяемую независимой переменной. Переменные Ньютон назвал флюентами (лат. fluo — течь, изменяться); все зависимые переменные в качестве независимой переменной имели абсолютное время. Скорости изменения флюент Ньютон назвал флюксиями. Таким образом, если под флюентой понимается скорость механического движения, то флюксия будет представлять собой ускорение — отношение бесконечно малого изменения скорости к бесконечно малому отрезку времени, в течение которого произошло изменение скорости. Отношение двух бесконечно малых величин, именуемое теперь производной (процесс определения производной называется дифференцированием), является, как этого и следовало ожидать по смыслу, не бесконечно малой, а конечной величиной. Элементарное (бесконечное малое) изменение переменной величины (например, скорости, ускорения, времени) Ньютон именовал моментом.

Ньютон является вместе с Лейбницем не только основоположником дифференциального и интегрального исчисления. Ньютону также принадлежат работы, открывшие широкие возможности применения этих новых математических методов. В их числе — определение флюксий (производных) для различных типов уравнений, связывающих зависимую переменную (функцию) с независимой (аргументом). Заметим, кстати, что если бы мы воспользовались современной терминологией (терминами, помещенными в скобках), то для современных читателей предыдущая фраза выглядела бы гораздо более удобной: в их числе — определение производных для различных типов функциональных зависимостей.

В частности, Ньютон решил задачу определения производной для степенной функции у = хⁿ (где х — аргумент, у — зависимая переменная функция, n — показатель степени), а также для некоторых других функций.

Ньютон и Лейбниц предложили и ввели в практику интегральное исчисление, интегрирование (лат. integer — целый), являющееся обратным действием по отношению к дифференцированию: если дифференцирование есть определение производной какой-либо функции, т. е., как следует из сказанного выше, определение предела отношения приращения функции к приращению аргумента при стремлении последнего к нулю, или производная

то интегрирование есть определение первоначальной функциональной зависимости y=F(x) по уравнению производной y'=f(x) или

где с — константа интегрирования.

Таким образом, если требуется, например, найти уравнение, определяющее скорость движения тела в зависимости от времени, зная как изменяется по ходу времени пройденный телом путь (именно такого рода данные, а следовательно, и расчетное уравнение можно получить опытным путем, давая телу свободно падать под действием силы тяжести), то необходимо применить дифференциальное исчисление. Если же, наоборот, уравнение, связывающее скорость движения тела и время, известно и нужно определить зависимость пройденного телом пути от времени, то необходимо воспользоваться интегральным исчислением.

Следует заметить, что Ньютон и Лейбниц, разрабатывая дифференциальное и интегральное исчисление, использовали различный подход к проблеме; подход Ньютона можно было бы назвать физическим (у него главную роль играло понятие скорости), Лейбниц же подходил к проблеме как геометр (рассматривая задачу о проведении касательной к данной точке кривой). Естественно, что они пользовались различными символами и терминологией. В дальнейшем получили распространение символы и терминология Лейбница. Они используются в математике и в настоящее время.

Ньютону принадлежит решение важной практической задачи — преобразования некоторых функций, в том числе логарифмической, показательной (аргумент — показатель степени), некоторых тригонометрических, в бесконечные степенные ряды (так называемое разложение в ряды).

Имя Ньютона носит формула (бином Ньютона), дающая возможность представить двучлен в некоторой степени (а + b)ⁿ в виде суммы степеней слагаемых. Например, в простейшем случае для n = 2 получается хорошо известное выражение (а+b)² = а²+2аb+b². Собственно говоря, формула, очень близкая по своему виду к биному Ньютона, была известна задолго до Ньютона. Заслуга Ньютона заключается в том, что он усовершенствовал ее, сделав применимой не только для целых, положительных значений показателя степени n, как это было раньше, но также и для дробного и отрицательного показателя.