Стратегические игры

Как обычно, будем искать равновесие в смешанных стратегиях с помощью условия безразличия. Каждому участнику торгов должно быть безразлично, какое именно значение x выбрать, при условии, что остальные играют в соответствии со своими вероятностями применения чистых стратегий в смешанной стратегии. Предположим, вы как один из n участников торгов предлагаете цену x. Вы выиграете, если остальные (n — 1) участников торгов предложат цену меньше x. Вероятность того, что любой другой покупатель предложит цену меньше x, равна P(x); вероятность того, что два других предложат цену меньше x, равна P(x) × P(x), или [P(x)]²; вероятность того, что все (n — 1) других участников предложат цену меньше x, равна P(x) × P(x) × P(x)…, умноженное на себя (n — 1) раз, или [P(x)]ⁿ —  ¹. Следовательно, вы выиграете приз 1 с вероятностью [P(x)]^n — 1. Не забывайте, что вы платите x, что бы ни произошло. Таким образом, ваш чистый ожидаемый выигрыш при любом значении цены предложения x составит [P(x)]^n — 1 — x. Однако вы могли бы гарантированно получить приз 0, предложив цену 0. Таким образом, поскольку вам должно быть безразлично, какое значение x выбрать (в том числе 0), условие, определяющее равновесие, выглядит так: [P(x)]^n — 1 — x = 0. В полном равновесии в смешанных стратегиях оно должно выполняться при всех значениях x. Стало быть, цена предложения, соответствующая равновесной смешанной стратегии, составляет P(x) = x ^1/(n — 1).

Пара примерных расчетов иллюстрируют, что здесь имеется в виду. Во-первых, рассмотрим случай, в котором n = 2; тогда P(x) = x при всех значениях x. Значит, вероятность предложить в качестве цены число, попадающее между двумя заданными уровнями x₁ и x₂, равна P(x₂) — P(x₁) = x₂ — x₁. Поскольку вероятность того, что цена предложения попадает в определенный интервал, — это просто длина интервала, любая цена предложения должна быть в равной степени вероятной, как и любая другая цена. Иначе говоря, цена предложения в вашей равновесной смешанной стратегии должна случайно и равномерно распределяться по всему интервалу от 0 до 1.

Далее пусть n = 3. Тогда P(x) = √x. При x = 1/4, P(x) = 1/2, то есть вероятность предложения цены 1/4 или меньше равна 1/2. Значения цены предложения больше не распределены равномерно в интервале от 0 до 1 и с большей вероятностью находятся у его нижнего предела.

Дальнейшее увеличение n усиливает эту тенденцию. Например, при n = 10 P(x) = x^1/9, а P(x) = 1/2, когда x = (1/2)⁹ = 1/512 = 0,00195. В этой ситуации вероятность того, что ваша цена предложения будет меньше 0,00195, равна вероятности того, что она примет любое значение из интервала от 0,00195 до 1. Следовательно, скорее всего, ее значения будут близки к 0.

Стало быть, ваша средняя цена предложения должна быть тем меньше, чем больше число n. На самом деле более точные математические вычисления показывают, что если все участники торгов предлагают цену в соответствии с этой стратегией, то среднее, или ожидаемое, значение цены предложения любого отдельно взятого игрока будет равно (1/n)[293]. Когда n игроков предлагают цену в среднем по 1/n каждый, общая ожидаемая цена предложения составит 1, а организатор аукциона получит нулевую ожидаемую прибыль. Эти расчеты обеспечивают более точное подтверждение того, что равновесная стратегия предотвращает предложение слишком высокой цены.

Мысль о том, что цена предложения должна с гораздо большей вероятностью быть близкой к нулю при наличии большого количества участников торгов, на интуитивном уровне вполне понятна, а вывод, что равновесная стратегия участия в торгах предотвращает предложение слишком высокой цены, придает еще большую достоверность теоретическому анализу. К сожалению, многие участники реальных аукционов «платят все» либо не знают, либо забывают об этой теории и выставляют слишком высокую цену.