Тайная жизнь чисел

Путаница между словами «гиппопотам» (англ, hippopotamus) и «гипотенуза» (англ, hypotenuse) стала классической темой математических анекдотов. Мы привели здесь эту историю потому, что она подтверждена документально и в ней рассказывается об известной личности.

Бутылка, у которой нет «внутри» и «снаружи»

Как сказал бы капитан Хэддок, друг героя комиксов Тинтина, у всех бутылок в нашем мире есть «внутри» и «снаружи», и они либо пусты, либо в них что-то налито. Но правильнее было бы сказать «почти у всех», поскольку существуют математические бутылки (бесполезные для Хэддока и потому ему неизвестные), обладающие весьма необычными свойствами. Немецкий математик Феликс Клейн (1849–1925) в 1882 году описал бутылку, у которой, как вы можете видеть, нет ни внутренней, ни наружной части. И выпить из нее нельзя.

Читатель, конечно, может попытаться представить ее себе полной или пустой, но в нашей трехмерной Вселенной такая бутылка, к несчастью, пронзает сама себя, а вот в четырехмерном пространстве — вполне возможна. Со строго геометрической точки зрения, бутылка Клейна — это замкнутая неориентируемая поверхность без границы, которая изучается в топологии наряду со своей сестрой, лентой Мёбиуса.

Анекдотичность этой геометрической диковинки заключена в ее названии, куда вкралась ошибка: изначально на немецком языке бутылка Клейна называлась Kleinsche Flache, то есть «поверхность Клейна». Если кто-то хочет изобразить эту поверхность (для этого достаточно компьютерной программы и принтера), он должен будет построить график следующего уравнения в декартовых координатах:

(x² + у² + z² + 2у — 1)·[(x² + у² + z² — 2y — 1)² — 8z²] + 16xz(x² + y² + z² — 2y — 1) = 0

Однако даже математики порой ошибаются, и Kleinsche Flache стало писаться как Kleinsche Flasche, что как раз и означает «бутылка Клейна». А поскольку слово «бутылка» тоже довольно точно описывает поверхность Клейна, то это ошибочное название стало в научном мире общепринятым.

Открытие бутылки Клейна предоставило ряд возможностей и для бизнеса: в интернете вы найдете шапки, имеющие форму поверхности Клейна, или ковши для зачерпывания вина, которые представляют собой практически ее копию.

Глава 3 Анализ

А что такое эти флюксии? Скорости исчезающих приращений.

А что такое эти самые исчезающие приращения?

Они не есть ни конечные величины, ни величины бесконечно малые, но они и не нули.

Разве мы не имеем права назвать их призраками исчезнувших величин?

Епископ Джордж Беркли (1685–1753)

Процитированные выше строки взяты из памфлета «Аналитик» (The Analyst, 1734) — прекрасного интеллектуального упражнения англиканского епископа, посвященного «одному неверующему математику» — по-видимому, Беркли имел в виду Эдмунда Галлея (1656–1742), который славился своей недоверчивостью.

В памфлете Беркли выступает против недавно появившегося ньютоновского исчисления, столь обожаемого Галлеем и всем научным миром, возражая им (и небезосновательно), что если они не верят в Бога, поскольку священные тексты им непонятны, то не следует верить и в почти мистические хитросплетения математического анализа.

Прошли годы и даже столетия, доверие к математическому анализу было восстановлено благодаря более строгим и четким, но менее интуитивным определениям. Тем не менее не стоит забывать слова Беркли, превосходного философа-эмпирика (его именем назван знаменитый американский университет). Напротив, следует отдать ему дань уважения за грамотную и обоснованную критику.

Методы, описанные Ньютоном и Лейбницем, открыли множество путей в науке и вместе с тем породили множество анекдотичных ситуаций. Приведем некоторые из них.

Портрет епископа Джорджа Беркли кисти Джона Смайберта.

Гипотезы, теоремы и Ньютон

Очевидно, что гипотеза и теорема — не одно и то же. Гипотеза обретает статус теоремы только после доказательства, однако довольно долго это не учитывалось.

Рассмотрим, например, труды Иоганна Кеплера (1571–1630). Все мы не раз почтительно отзывались о его законах, которые представляют собой эмпирические выводы, основанные на таблицах Тихо Браге (1546–1601). Эти законы можно назвать гениальными, они широко известны в научном мире и точно описывают движение небесных тел, хотя для них не приводится какого-либо математического доказательства. Сегодня, с вершин нашего знания, можно сказать, что это были три блестящие гипотезы, но не три теоремы.