Тайны чисел: Математическая одиссея

Дизайнеры Arup в своем поиске интересных природных форм, напоминающих о состязаниях, проходящих в олимпийском плавательном комплексе, изучали туман, айсберги и волны. Они случайно натолкнулись на пену Уэйра – Фелана и поняли, что у нее был потенциал к созданию совершенно новых архитектурных форм. Чтобы избежать чрезмерной регулярности, решили разрезать пену под углом. Внешние стены «Водяного куба», как неформально называется плавательный центр, представляют ту структуру пузырей, которую вы увидите, если вставите лист стекла в пену под углом.

Хотя структура, созданная Arup, кажется вполне случайной, она начинает повторяться на протяжении здания. Тем не менее она вызывает именно то органичное ощущение, к которому стремились дизайнеры. Однако если вы получше приглядитесь, то заметите пузырь, который противоречит правилам Плато, ведь в его очертаниях заметны прямые углы вместо предписанных Плато 120° и 109,47°. Так стабилен ли «Водяной куб»? Будь он сделан из пузырей, ответом было бы «нет». Данный прямоугольный пузырь изменил бы свою форму, чтобы прийти в соответствие тем математическим правилам, которым должны подчиняться все пузыри. И все-таки у китайских властей нет повода для беспокойства. Насколько можно ожидать, «Водяной куб» будет стоять благодаря математике, которая была задействована при создании этого прекрасного сооружения.

Рис. 2.18. На поверхности олимпийского плавательного центра в Пекине есть нестабильный пузырь

Но не только Arup и китайские власти интересуются формой, которую приобретают пузыри, когда их прижимают друг к другу. Понимание строения пены помогает нам разобраться во многих других природных структурах, например в структуре органических клеток в шоколаде, взбитых сливках или в шапке над пинтой пива. Пена используется при тушении пожаров, в защите водных ресурсов от радиоактивных утечек и при переработке минералов. Интересуетесь ли вы борьбой с пожарами или тем, как добиться, чтобы пенная шапка над вашим «Гиннессом» не оседала слишком быстро, ключ к ответу определяется пониманием математической структуры пены.

Почему у снежинки шесть лучей?

Одним из первых, кто попытался дать математический ответ на этот вопрос, был астроном и математик XVII в. Иоганн Кеплер. Его понимание того, почему у снежинки шесть лучей, возникло после изучения плода граната. Зернышки граната начинают свой рост с маленьких шариков. Как знает любой продавец фруктов, наиболее эффективный способ заполнить пространство шарами состоит в расположении их слоями шестиугольников. Слои хорошо подгоняются друг к другу, когда каждый шар из последующего слоя находится между тремя шарами слоя под ним. Совместно эти четыре шара расположены так, что являются вершинами тетраэдра.

Кеплер предположил, что это самый эффективный способ заполнить пространство – другими словами, при таком размещении у промежутков между шарами будет минимальный объем. Но как можно быть уверенным, что не существует какого-то более сложного расположения шаров, способного улучшить данную упаковку шестиугольников? Гипотеза Кеплера, как стало называться его невинное утверждение, овладевала умами поколений математиков. Ее доказательство появилось в конце XX в., когда математики объединили свои силы с мощью компьютеров.

Но вернемся к плоду граната. По мере его роста зернышки начинают сдавливать друг друга, их поверхность превращается из сфер в формы, полностью заполняющие пространство. Каждое зернышко внутри плода находится в контакте с 12 другими, поэтому когда они сдавливают друг друга, получается форма с 12 гранями. Вы могли бы подумать, что она будет соответствовать додекаэдру с его 12 пятиугольными гранями, но додекаэдры нельзя сложить вместе, чтобы они заполнили все имеющееся пространство. Единственное Платоново тело, способное идеально состыковаться и заполнить пространство, – это куб. Вместо этого 12 граней зернышка граната приобретают форму ромба. Результирующий многогранник, называемый ромбододекаэдром, часто встречается в природе (рис. 2.19).

Рис. 2.19

Так, у кристалла граната 12 граней в форме ромба. Английское слово garnet, обозначающее минерал гранат, происходит от латинского названия растения гранат, ведь красные зернышки его плода также образуют формы с 12 ромбическими гранями.

Анализ ромбических граней зернышек граната вдохновил Кеплера начать исследование всевозможных симметричных форм, которые можно построить исходя из этой менее симметричной ромбической грани. Платон изучал формы, получающиеся из одной симметричной грани. Архимед пошел дальше и рассмотрел возможность двух или большего числа симметричных граней. Исследования Кеплера породили целую индустрию, посвященную различным формам, развивающим идеи Платона и Архимеда. Теперь у нас есть Каталановы тела и тела Кеплера – Пуансо, многогранники Джонсона и «шаткие» многогранники, зоноэдры – и множество других экзотических объектов.