Тайны чисел: Математическая одиссея

А какова вероятность того, что вы не угадали ни одно число? Мы можем найти ее тем же способом, как и ранее. Ваше первое число должно быть одним из 43 невыпавших, второе число – одним из остающихся 42 и т. д. Это дает 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38 разных комбинаций. Но каждая из комбинаций была учтена 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1 раз. Итак, число всех комбинаций, в которых нет ни одного правильного числа, равно 43 × 42 × 41 × 40 × 39 × 38, поделенному на 6 × 5 × 4 × 3 × 2 × 1, или 6 096 454. Итак, у чуть менее чем половины всех возможных выборов нет ни одного выигрышного числа. Чтобы сосчитать ваш шанс не угадать ни одного числа, нужно разделить 6 096 454 на 13 983 816. Это приблизительно равно 0,436, другими словами, вероятность того, что вы не угадаете ничего, составляет 43,6 %.

Итак, у вас есть шанс 56,4 % угадать хотя бы одно число. А каков шанс, что у вас будет ровно два верных числа? Чтобы найти его, нужно сначала определить количество комбинаций с двумя верными числами. У вас есть выбор из шести для одного правильного числа и выбор из пяти для второго правильного числа. Получается 6 × 5, но это число опять нужно разделить на 2 в силу двойного учета. Для четырех неверных чисел у вас имеется 43 × 42 × 41 × 40 комбинаций, что нужно разделить на 4 × 3 × 2 × 1 из-за многократного учета. Значит, количество комбинаций, в которых верны ровно два числа, составляет

В таблице 3.01 приведены ваши шансы угадать правильно от 0 до шести чисел, все вероятности рассчитаны таким же способом. Чтобы представить эти числа в перспективе, отметим, что если вы будете покупать билет национальной лотереи каждую неделю, то примерно через год вы можете ожидать, что у одного из ваших билетов будут по крайней мере три правильных числа. Примерно через двадцать лет вы могли бы увидеть билет по крайней мере с четырьмя верными числами. Король Альфред[7], покупай он билет каждую неделю, смог бы к настоящему времени увидеть один билет с пятью выигравшими числами. А если бы первой мыслью, появившейся в голове первого Homo sapiens, была бы идея зайти в ближайший киоск и начать покупать один лотерейный билет каждую неделю, то к настоящему времени он мог бы выиграть один большой приз.

Таблица 3.01. Шанс правильно угадать от 0 до 6 номеров национальной лотереи