Тайны чисел: Математическая одиссея

2L = 2 × (1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^N – 2) = 2 + 4 + 8 + 16 … + 2^N – 2 + 2^N – 1

Теперь вычтемL = 1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^N – 2. Мы придем к

L = 2L – L = (2 + 4 + 8 + 16 … + 2^N – 2 + 2^N – 1) – (1 + 2 + 4 + 8 + … + 2^N – 2) = 2^N – 1 – 1.

Все числа из первой пары скобок (кроме 2^N – 1) появляются во второй паре скобок, вот почему они исчезают из ответа! (Мы уже встречались с данным вычислением, когда складывали рисинки на шахматной доске в нашем поиске простых чисел в главе 1.) Итак, вы выиграли 2^N – 1 фишек, а проиграли 2^N – 1 – 1. Ваш итоговый выигрыш будет составлять одну фишку.

Конечно, это немного, но данная система ставок на первый взгляд гарантирует вам выигрыш – в конце концов, когда-то ведь должно выпасть красное, не так ли? Так почему же игроки не извлекают свою выгоду в казино, пользуясь этой стратегией? Одна проблема состоит в том, что вам необходимы бесконечно большие финансовые возможности, чтобы гарантировать выигрыш, потому что существует теоретическая возможность того, что всю ночь будет выпадать черное за черным. И, даже если у вас была целая гора фишек, повторяющееся удвоение вашей ставки может очень быстро исчерпать ваш запас (как и в случае рисинок). Кроме того, в большинстве казино устанавливается порог максимальной ставки, именно для того, чтобы не дать игрокам использовать эту стратегию. Например, если максимальная ставка составляет 1000 фишек, ваша стратегия даст сбой после десяти раундов, потому что в одиннадцатом вам нужно будет поставить 2¹⁰ = 1024 фишки, что уже превосходит порог.

Но даже при наличии максимальной ставки многие игроки поддаются заблуждению, полагая, что если черное выпало восемь раз кряду, то вероятность того, что в следующий раз выпадет красное, должна возрасти. Конечно, шанс увидеть восемь черных кряду довольно невелик, он составляет 1 из 256. Но это никоим образом не увеличивает шанс того, что в следующем раунде выпадет красное: он по-прежнему будет пятьдесят на пятьдесят. Как и у подкидываемой монеты, у колеса рулетки нет памяти.

Если вы хотите сыграть в рулетку, то помните, что говорит математика вероятности: в конечном счете заведение всегда выигрывает – хотя мы увидим в главе 5, что существует возможность использовать другую математику, которая посодействует вам в получении миллионов. Если вы не любите покер или рулетку, то вам может подойти стол для крэпса[11]. Как мы сейчас увидим, у игральных костей очень долгая история.

Сколько граней было у первых игральных костей?

Многие из наших игр зависят от случая. «Монополия», нарды, «Змейки и лесенки»[12] и многие другие зависят от броска кубика, в соответствии с которым вы делаете определенное число шагов вашей фишкой. Первые игральные кости кидали древние вавилоняне и египтяне. Они использовали бабки – мелкие кости конечностей животных, например овец, – в качестве игральных костей. Кости, естественно, оказывались на одной из четырех сторон, но древние игроки вскоре поняли, что из-за несимметричного характера некоторые стороны выпадали чаще других, поэтому начали изготавливать игральные кости вручную, чтобы игра стала более справедливой. Как только они взялись за это, им пришлось исследовать многообразие трехмерных форм, у которых грани будут выпадать с равной вероятностью.

Поскольку отправной точкой игральных костей были бабки, не слишком удивительно, что некоторые из первых симметричных игральных костей изготавливались в форме тетраэдра с четырьмя треугольными гранями. В одной из первых известных нам настольных игр использовались такие пирамидальные кости.

Она называлась «Царской игрой Ура». Несколько ее игральных полей и пирамидальные кости были найдены британским археологом сэром Леонардом Вулли во время раскопок захоронений в древнем шумерском городе Уре (сейчас он находится на территории Южного Ирака). Гробницы относятся примерно к 2600 г. до н. э., игральные комплекты помещались туда, по всей вероятности, чтобы развлекать обитателей в их жизни после смерти. Замечательный образец этого комплекта представлен в экспозиции Британского музея в Лондоне. На игровом поле 20 клеток, по которым соперники, должно быть, перемещали свои фишки в соответствии с броском тетраэдрических игральных костей.

Правила этой игры оставались неизвестными вплоть до начала 1980-х гг., когда Ирвинг Финкель из Британского музея натолкнулся в его архиве на клинописную табличку, относящуюся к 177 г. до н. э. На обратной стороне таблички имелась зарисовка этой игры. Она была предшественником нард, каждый из игроков располагал определенным количеством фишек, которые он перемещал по полю. Но именно использовавшиеся игральные кости наиболее интересны с математической точки зрения.