Темная сторона материи. Дирак. Антивещество

Однако проблема была решена не до конца. Сопряженность гамильтониана означала, что четыре матрицы должны быть, в свою очередь, эрмитово-сопряженными. В первое время Дирак думал о матрицах Паули, которые отвечали всем необходимым условиям. Но матриц Паули было три, и Дираку надо было найти четвертую, чтобы окончательно сформировать уравнение. В результате он пришел к выводу, что найти четвертую матрицу для трех матриц Паули невозможно. Математики на самом деле уже знали этот результат, так как они доказали, что для квадратных матриц Nx N максимальное количество независимых эрмитово-сопряженных матриц, которые «антикоммутируют» между собой, равно N² -1. Следовательно, у Дирака оставалась единственная возможность — увеличить размер матриц. Доказав, что их размер обязательно должен быть парным, ученый наконец нашел четыре независимые эрмитово-сопряженные матрицы 4x4. Это минимальный размер, который согласуется с общими свойствами его уравнения. Дирак заметил:

«Мне понадобилось много недель, чтобы осознать, что необязательно использовать переменные с двумя строками и двумя столбцами. Почему бы не представить четыре строки и четыре столбца?»

МАТРИЦЫ И КОВАРИАНТНАЯ ФОРМА УРАВНЕНИЯ ДИРАКА

Уравнение Дирака запечатлено на его мемориальной доске в Вестминстерском аббатстве. На самом делетам оно присутствует в своей «ковариантной форме». Это значит, что форма уравнения является одинаковой для любой инерциальной системы отсчета. Для упрощения записи уравнения в квантовой релятивистской теории принято одновременно считать редуцированную постоянную Планка, h, и скорость света, с, равными единице. Это называется «естественной системой единиц». В таком случае уравнение Дирака записывается так:

В него включен оператор Гамильтона,

, и использовано выражение:

Матрицы Дирака могут быть прямо выражены через матрицы Паули, о_k, в следующей форме:

Вставляя выражение γ⁰ ≡ β; γ^k ≡ ßa_k и умножая левую часть этого уравнения Дирака на матрицу β, мы в итоге получаем

Уравнение в рамке соответствует тому, что запечатлено в Вестминстерском аббатстве. Несмотря на кажущуюся простоту, оно на самом деле объединяет четыре дифференциальных уравнения. Данное уравнение известно как «ковариантная форма уравнения Дирака для свободного электрона» и включает в себя оператор

γ ∙ ∂ ≡ γ⁰ ∂/∂t + γ^x ∂/∂x + γ^y ∂/∂y + γ^z ∂/∂z.

Ценность уравнения

Дираку не было достаточно просто формулировки своего уравнения в написанной им статье 1928 года: ученый также доказал, что оно соблюдает свойство инвариантности при преобразованиях Лоренца. Так, уравнение Дирака представляет собой действительно удовлетворительное описание квантового поведения субатомных частиц: оно соблюдает релятивистское соотношение момента и энергии, из него вытекает плотность вероятности, имеющая положительное значение, с действительными значениями энергии, и, наконец, оно согласуется с принципом относительности Эйнштейна.