Тени разума. В поисках науки о сознании

Строго говоря, это не совсем законно, поскольку в выражении для оператора A может также появиться и символ «x», и с этим нам придется что-то делать. Можно усмотреть сложность и в том, что генерируемое такой процедурой незавершающееся вычисление нельзя считать операцией над натуральными числами (поскольку вторая K в записи KK «числом» не является). Вообще говоря, λ-исчисление не вполне подходит для работы с явными численными операциями, и зачастую бывает довольно сложно понять, каким образом ту или иную заданную алгоритмическую процедуру, применяемую к натуральным числам, можно выразить в виде операции λ-исчисления. По этим и подобным причинам обсуждение с привлечением машин Тьюринга имеет, как нам представляется, более непосредственное отношение к теме нашего исследования и достигает требуемого результата более наглядным путем.

3. О невычислимости в математическом мышлении

3.1. Гёдель и Тьюринг

В главе 2 была предпринята попытка продемонстрировать мощь и строгий характер аргументации в пользу утверждения (обозначенного буквой G), суть которого заключается в том, что математическое понимание не может являться результатом применения какого-либо осмысленно осознаваемого и полностью достоверного алгоритма (или, что то же самое, алгоритмов; см. возражение Q1). В приводимых рассуждениях, однако, ни словом не упомянуто еще об одной возможности, существенно более серьезной и ничуть не противоречащей утверждению G, а именно: убежденность математика в истинности своих выводов может оказаться результатом применения им некоего неизвестного и неосознаваемого алгоритма, или же, возможно, математик применяет какой-то вполне постижимый алгоритм, однако при этом не может знать наверняка (или хотя бы искренне верить), что выводы его являются целиком и полностью результатом применения этого самого алгоритма. Ниже я покажу, что, хотя подобные допущения и вполне приемлемы с логической точки зрения, вряд ли их можно счесть хоть сколько-нибудь правдоподобными.

Прежде всего следует указать на то, что тщательно выстраивая последовательности умозаключений (вполне, заметим, осознанных) с целью установления той или иной математической истины, математики вовсе не считают, что они лишь слепо следуют неким неосознаваемым правилам, будучи при этом не в состоянии постичь эти правила ни рассудком, ни верой. Напротив, они твердо знают, что их аргументация опирается исключительно на непреложные истины — в основе своей существенно «очевидные»; столь же непреложными, на их взгляд, являются и все промежуточные умозаключения, составляющие упомянутую последовательность. Какой бы длинной, запутанной или даже концептуально неочевидной ни была цепь умозаключений, само рассуждение в основе своей остается принципиально неопровержимым и логически безупречным, а автор его искренне верит в свою правоту. Ни один математик не согласится с предположением о том, что на самом-то деле все его действия определяются какими-то совершенно иными процедурами, о которых он ничего не знает и в которые не верит, но которые, возможно, неким непостижимым образом исподволь влияют на его убеждения.

Разумеется, в этом отношении математики могут и ошибаться. Может быть, и впрямь существует какая-то алгоритмическая процедура, которая руководит всем математическим мышлением, оставаясь при этом неизвестной самим математикам. Всерьез принять такую возможность, пожалуй, легче людям, далеким от математики, нежели большинству из тех, для кого математика является профессией. Полагая, что деятельность математика не сводится к простому выполнению некоего неизвестного (и непостижимого) алгоритма (равно как и алгоритма, в существовании которого он испытывает сомнения), это самое большинство оказывается как нельзя более правым, в чем я и постараюсь убедить читателя в этой главе. Разумеется, полностью исключить возможность того, что суждения и убеждения математиков и в самом деле определяются какими-то неизвестными и неосознаваемыми факторами, нельзя; однако, даже если так оно и есть, я полагаю, что такие факторы не имеют ничего общего с алгоритмически описываемыми процедурами.