Теорема Гёделя

В таком случае возникает вопрос: а совместима ли система римановских постулатов? Кажется совершенно ясным, что пространству, данному нам в нашем повседневном опыте, система эта не соответствует. Каким же образом можно было бы тогда все-таки рассчитывать установить непротиворечивость этой системы? Как доказать, что в такой системе не могут быть доказаны две противоречащие друг другу теоремы?

Для решения проблемы был предложен один общий метод. Основная идея его состоит в том, чтобы найти «модель» (или «интерпретацию») для абстрактных постулатов рассматриваемой системы, т. е. чтобы каждый постулат оказался истинным утверждением об объектах такой модели, что и свидетельствовало бы о непротиворечивости (совместимости) системы абстрактных постулатов. Рассмотрим, например, следующую систему постулатов, в формулировки которых входят два класса K и L, подлинная «природа» которых остается неопределенной, если не считать того, что сами постулаты «неявно» определяют эти классы.

1. Любые два (различных) члена класса K принадлежат в точности одному члену класса L.

2. Ни один член класса K не принадлежит более чем двум (различным) членам класса L.

3. Не все члены класса K принадлежат одному и тому же члену класса L.

4. Любым двум членам класса L принадлежит в точности один общий для них член класса K.

5. Ни одному члену класса L не принадлежит более чем два элемента класса K.

Из этого небольшого перечня постулатов мы можем, пользуясь обычными правилами логического вывода, вывести несколько теорем. Например, можно показать, что K содержит в точности три члена. Но совместима ли данная система постулатов? Нельзя ли из них получить противоречие? Этот вопрос решается (отрицательно) с помощью следующей модели.

Пусть K есть класс точек, членами которого являются вершины некоторого треугольника, a L — класс отрезков прямых, членами которого являются стороны этого же треугольника. Условимся понимать предложение «член класса K принадлежит члену класса L» как утверждение о том, что данная точка-вершина принадлежит данному отрезку-стороне. При таком понимании каждый из перечисленных пяти постулатов оказывается истинным утверждением. Например, первый постулат утверждает тогда попросту, что любые две точки, являющиеся вершинами некоторого треугольника, принадлежат в точности одному отрезку, служащему стороной этого треугольника. Аналогичным образом мы убеждаемся в истинности остальных постулатов и в совместимости всей данной системы постулатов в целом.

Непротиворечивость геометрии Римана также, оказывается, можно установить при помощи модели, реализующей ее постулаты. Мы можем интерпретировать (истолковать) слово «плоскость», фигурирующее в формулировках римановских аксиом, как поверхность некоторой (евклидовой!) сферы, под «точкой» понимать точку, лежащую на этой сферической поверхности, под «прямой» — дугу большого круга этой поверхности и т. п. Тогда каждый постулат римановской системы оказывается теоремой евклидовой геометрии. Скажем, риманов постулат параллельности при такой интерпретации гласит: «Через точку, лежащую на поверхности сферы, нельзя провести ни одной дуги большого круга этой сферы, которая не пересекала бы произвольной данной окружности большого круга, выбранной на этой поверхности».

Но приведенное рассуждение не является исчерпывающим доказательством непротиворечивости геометрии Римана: ведь оно существенно опирается на допущение о непротиворечивости геометрии Евклида. Так что теперь неизбежно встает вопрос: а действительно ли непротиворечива сама геометрия Евклида?

По давно установившейся традиции на такой вопрос отвечали обычно в том духе, что «аксиомы Евклида истинны, а стало быть, и непротиворечивы». Но такой ответ мы уже не можем более рассматривать как удовлетворительный (мы еще вернемся к этой теме и разъясним подробнее, в чем именно заключается его неудовлетворительность). Другой ответ состоит в том, что евклидовские аксиомы согласуются с фактическими — хотя и ограниченными — данными нашего опыта и наблюдения, относящимися к пространству, и что, принимая эти аксиомы, мы вправе обобщить, экстраполировать наши знания о некоторой ограниченной области. Однако самое большее, на что мы можем рассчитывать, исходя из таких «индуктивных» соображений, — то, что аксиомы «правдоподобны», истинны «с большой вероятностью».