Теорема века. Мир с точки зрения математики

Существа, получившие там свое развитие, нашли бы, без сомнения, более удобным создать геометрию, отличную от нашей, которая лучше соответствовала бы их впечатлениям. Что же касается нас, то, наверное, даже при наличии тех же впечатлений мы нашли бы более удобным не изменять наших привычек.

Глава V. Опыт и геометрия

1. В предыдущем я уже неоднократно старался показать, что принципы геометрии не являются фактами опыта и что, в частности, постулат Евклида не мог бы быть доказан опытом. Какими бы доказательными ни представлялись мне вышеприведенные соображения, я считаю нужным еще остановиться на этом вопросе, так как здесь мы встречаем ложную идею, глубоко укоренившуюся во многих умах.

2. Пусть мы изготовили материальный круг, измерили его радиус и окружность и желаем убедиться, равно ли отношение этих величин числу . Что мы делаем в этом случае? Мы производим опыт не над свойствами пространства, а над свойствами как того материала, из которого приготовлен этот диск, так и того, из которого сделан метр, служащий для измерений.

3. Геометрия и астрономия. Но вопрос ставят еще иначе. Если справедлива геометрия Лобачевского, то параллакс очень удаленной звезды будет конечным; если справедлива геометрия Римана, то он будет отрицательным. Эти результаты, по-видимому, допускают опытную проверку; можно было надеяться, что астрономические наблюдения могут решить выбор между тремя геометриями.

Но то, что в астрономии называется прямой линией, есть просто траектория светового луча. Если, следовательно, сверх ожидания, удалось бы открыть отрицательные параллаксы или доказать, что все параллаксы больше известного предела, то представлялся бы выбор между двумя заключениями: мы могли бы или отказаться от евклидовой геометрии, или изменить законы оптики и допустить, что свет распространяется не в точности по прямой линии. Бесполезно добавлять, что всякий счел бы второе решение более удобным.

Таким образом, евклидовой геометрии нечего опасаться новых опытов.

4. Можно ли утверждать, будто некоторые явления, возможные в евклидовом пространстве, невозможны в неевклидовом, так что опыт, констатируя эти явления, прямо противоречил бы гипотезе о неевклидовом пространстве? По моему мнению, подобный вопрос не может возникнуть. С моей точки зрения, он вполне равносилен следующему вопросу, нелепость которого всякому бросится в глаза: существуют ли длины, которые можно выразить в метрах и сантиметрах, но которых нельзя измерить туазами, футами и дюймами, – так что опыт, констатируя существование этих длин, прямо противоречил бы тому допущению, что существуют туазы, делящиеся на 6 футов.

Рассмотрим вопрос ближе. Допустим, что прямая линия в евклидовом пространстве обладает некоторыми двумя свойствами, которые я назову А и В; что в неевклидовом пространстве она по-прежнему обладает свойством A, но уже не обладает свойством В; допустим, наконец, что в евклидовом – как и в неевклидовом – пространстве прямая линия есть единственная линия, обладающая свойством А.

Если бы это было так, то опыт мог бы решить выбор между гипотезами Евклида и Лобачевского. Представим себе, что мы констатировали бы, что известный конкретный предмет, доступный опыту, например пучок световых лучей, обладает свойством А; отсюда мы заключили бы, что он прямолинейный, и исследовали бы затем, обладает он свойством В или нет.

Но это не так: не существует свойства, которое могло бы, как это свойство А, быть абсолютным критерием, позволяющим признать, что данная линия есть прямая, и отличить ее от всякой другой линии.

Скажут, например, что это свойство следующее: «прямая линия есть такая линия, что фигура, часть которой она составляет, может двигаться без изменения взаимных расстояний ее точек, причем все точки этой линии остаются неподвижными».

В самом деле, здесь мы имеем свойство, которое и в евклидовом и в неевклидовом пространстве принадлежит прямой и только прямой. Но как узнать на опыте, обладает ли этим свойством тот или другой конкретный предмет? Для этого понадобится измерить расстояния между некоторыми его точками, но как убедиться, что та конкретная величина, которую я измерил своим материальным прибором, в точности представляет собой абстрактное расстояние между этими точками?

Таким образом, мы лишь отодвинули трудность.

И действительно, свойство, которое я изложил, не есть свойство лишь одной прямой линии, оно есть свойство как прямой, так и расстояния. Чтобы оно могло служить абсолютным критерием, надо иметь возможность установить не только то, что оно не принадлежит никакой иной линии, кроме прямой, и принадлежит расстоянию, но еще то, что оно не принадлежит никакой другой линии, кроме прямой, и никакой другой величине, кроме расстояния. А именно это неверно.