Теорема века. Мир с точки зрения математики

Вера в существование актуальной бесконечности дала начало этим непредикативным определениям. Я объяснюсь. В этих определениях фигурирует слово «все», как это видно из приведенных выше примеров. Слово «все» имеет достаточно точный смысл, когда речь идет о бесконечном[28] числе предметов; для того чтобы оно имело также смысл, когда предметов имеется бесчисленное множество, необходимо, чтобы существовало актуально бесконечное. В противном случае на все эти предметы нельзя было бы смотреть как на данные до их определения; вместе с тем определение понятия N, если оно зависит от всех предметов A, может страдать пороком заколдованного круга, раз между предметами А имеются такие, которые нельзя определить без помощи самого понятия N.

Правила формальной логики выражают просто свойства всех возможных классификаций. Но для того чтобы эти правила были приложимы, необходимо, чтобы классификации оставались неизменными, чтобы их не приходилось изменять на протяжении рассуждений. Если приходится распределять конечное число предметов, то легко сохранить эти классификации без изменения. Если же предметы имеются в неопределенном количестве, т. е. если имеется возможность постоянного и внезапного появления новых предметов, то может случиться, что такое появление обяжет к изменению классификации. Отсюда опасность антиномий.

Нет актуальной бесконечности. Канторианцы забыли это и впали в противоречие. Верно то, что теория Кантора оказала услуги, но это было тогда, когда она применялась к истинной проблеме, термины которой были отчетливо определены; тогда можно было подвигаться вперед без опасений.

И логистики, подобно канторианцам, забыли об этом и встретились с теми же затруднениями. Но нужно знать, попали ли они на этот путь случайно или по необходимости.

Для меня вопрос не представляет сомнений. Вера в актуально бесконечное является существенной в логике Рассела. Этим она отличается от логистики Гильберта. Гильберт становится на точку зрения объема именно для того, чтобы избежать канторовских антиномий; Рассел становится на точку зрения содержания. Для него, следовательно, род предшествует виду и summum genus[29] предшествует всему. Это не представляло бы неудобства, если бы summum genus был конечным; но если он бесконечен, то приходится бесконечное ставить перед конечным, т. е. рассматривать бесконечное как актуальное.

Но мы имеем не только бесконечные классы. Когда мы переходим от рода к виду, суживая понятие введением новых условий, то эти условия тоже появляются в бесконечном числе. Ибо они вообще выражают, что рассматриваемый предмет находится в том или ином отношении ко всем предметам бесконечного класса.

Однако все это уже устаревшая история. Рассел заметил опасность. Он ее обдумает. Он все изменит. Он готов, запомним это, не только ввести новые принципы, которые позволяют производить не разрешенные никогда операции, но готов запретить операции, которые считал некогда законными. Он не довольствуется поклонением тому, что сжигал; он готов сжечь то, чему поклонялся, что еще тяжелее. Он не прибавляет нового крыла к зданию, он подрывает его основание.

Старая логистика умерла, a zigzag-theory и no classes theory оспаривают друг у друга преемственность. Чтобы судить о новой логистике, мы подождем, когда она образуется.

Общие выводы

На предыдущих страницах я старался объяснить, каким образом ученый должен производить выбор между бесчисленными фактами, раскрывающимися перед ним; ведь уже одна естественная немощность ума заставляет его делать такой выбор, хотя бы этот выбор и всегда представлял собой жертву. Сначала я искал оснований для этого в общих соображениях, указывая, с одной стороны, природу проблемы, подлежащей разрешению, с другой, – выясняя причину человеческого ума, этого главного орудия для разрешения. Затем я привел ряд пояснительных примеров. Я не умножал их до бесконечности; я сам должен был произвести между ними выбор и, естественно, выбрал вопросы, мною наиболее изученные. Другие на моем месте, без сомнения, сделали бы другой выбор; но это не имеет значения, потому что они пришли бы, я думаю, к тем же выводам.

Существует иерархия фактов. Одни факты не имеют значения; все то, чему они нас учат, касается их одних. Ученый, который констатировал их, не познал ничего более, как один факт, и не сделался способным предвидеть новые. Эти факты как бы происходят однажды, и повториться им не суждено.

С другой стороны, существуют факты большого значения. Каждый из них учит нас новому закону. И так как ученому предстоит сделать выбор, то именно к такого рода фактам он должен обратиться.