Теории всего на свете

4. За последние 4 тысячи лет на Земле жило в общей сложности не больше триллиона человеческих существ. (На самом деле ученые предполагают, что за всю историю человечества на Земле существовало, по приблизительным оценкам, около 100 миллиардов человек. Я на всякий случай увеличил эту оценку на порядок.)

Все четыре допущения намеренно сделаны как можно более непротиворечивыми. Немногочисленные исключения из первых двух условий и еще более значительная оценочная величина в четвертом условии приведут лишь к самым небольшим изменениям в нашей аргументации.

Вернемся к вам и вашим пращурам. Начнем рисовать ваше генеалогическое древо на 40 поколений в прошлое: вы, ваши родители, их родители и т. п., на 40 шагов назад. Поскольку каждое поколение, как правило, живет не больше 100 лет, последние 40 поколений на вашем фамильном древе все разместятся в прошедших четырех тысячах лет. (Собственно, они почти наверняка займут всего 1000–1200 лет, но помните, что мы всеми силами стараемся избежать возможных внутренних противоречий.)

Создание вашего генеалогического древа можно уподобить вычерчиванию «организационной схемы» – скажем, когда требуется отыскать людей для определенного набора профессий или ролей. Иными словами, кто-то должен быть вашей матерью, кто-то должен быть вашим отцом, кто-то должен быть отцом вашей матери и т. п., восходя вверх по древу. Каждую из этих позиций назовем «ролью предка»: это своего рода профессия, существующая в вашей генеалогической схеме, и мы можем говорить о работе вне зависимости от того, кто ее выполняет. При движении вверх (в прошлое) по вашему фамильному древу первое поколение над вами имеет две роли предка, соответствующие двум вашим родителям. Второе поколение содержит четыре роли предка (две ваших бабушки и два ваших дедушки), третье – восемь ролей (все ваши прабабушки и прадедушки). При подъеме на каждый следующий уровень удваивается число ролей предков (вакансий, которые необходимо заполнить). Расчеты показывают, что 40 поколений потребуют более триллиона ролей, и для каждой должен существовать исполнитель.

Тут-то и выходит на сцену принцип голубей и ящиков. Последние 40 поколений вашего генеалогического древа размещаются в последних четырех тысячах лет, а мы уже приняли как допущение, что в течение этого периода на Земле успел пожить триллион человек. А значит, ролей предков (таких ролей свыше триллиона) больше, чем людей, которые могли бы сыграть эти роли (таких людей не более триллиона). Что и подводит нас к решающему моменту рассуждения: по меньшей мере две роли среди ваших предков исполнял один и тот же человек. Назовем его (или ее) А.

Идентифицировав А таким способом, мы уже сделали основную часть работы. Теперь, начиная от двух различных ролей, которую А довелось сыграть среди ваших предков, давайте двинемся вниз по генеалогическому древу – в вашу сторону. Две линии, идущие вниз от А, должны впервые встретиться друг с другом в виде какой-то роли предка на более низком уровне древа. Эту роль исполняет В. Поскольку здесь эти две линии встречаются впервые, одна линия пришла к В через его (или ее) мать, а другая – через его (или ее) отца. Иными словами, А – предок матери В и одновременно предок отца В, что и требовалось доказать.

Внимательно подумав над тем, как работает это рассуждение, можно прийти к некоторым важным выводам. Во-первых, в каком-то смысле оно скорее касается простых математических конструкций, нежели людей. Мы взяли ваше гигантское генеалогическое древо и попытались втиснуть его в последние четыре тысячелетия истории человечества. Оно слишком большое и не помещается, так что некоторым пришлось занять на этом древе более одной позиции.

Во-вторых, у этого рассуждения имеется, как называют это математики, неконструктивный аспект. Оно вовсе не дает вам рецепта для отыскания А и В на вашем фамильном древе, оно лишь убеждает вас в том, что такие А и В должны на нем существовать – и, в общем-то, не более того.

Наконец, мне приятно думать, что это – типичный эпизод из жизни принципа голубей и ящиков, а также и всех прочих негромких, но мощных утверждений, которые усеивают математический ландшафт: разрозненная компания недооцененных фактиков, которые, как может показаться, часто являются как раз в нужное время и без всяких видимых усилий наводят порядок в ситуации, которая иначе оставалась бы запутанной и неясной.

Еще кое-что о принципе голубей и ящиков

Чарлз Сейфе

Профессор журналистики Нью-Йоркского университета, бывший автор журнала Science; автор книги Proofiness: The Dark Arts of Mathematical Deception («Непроницаемость: темное искусство математического обмана»)