Теория пределов и нейросети. Практикум

[ f(n) = \frac{n^2 + 1}{3n – 2} = \frac{n^2/n + 1/n}{3 – 2/n} = \frac{n + \frac{1}{n}}{3 – \frac{2}{n}} ]

Теперь рассмотрим предел при ( n \to \infty ):

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \lim_{{n \to \infty}} \frac{n + \frac{1}{n}}{3 – \frac{2}{n}} ]

При ( n \to \infty ), ( \frac{1}{n} \to 0 ) и ( \frac{2}{n} \to 0 ). Тогда предел выражения равен:

[ \lim_{{n \to \infty}} f(n) = \frac{\infty + 0}{3 – 0} = \infty ]

Таким образом, предел функции ( f(n) ) при ( n \to \infty ) равен бесконечности.

Если возникнут ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, обращайтесь!

3) f(x) = 2x/(x^2 – 4) – 1/(x – 2) при x стремящейся к 2.

GPTutor

Функция ( f(x) = \frac{2x}{x^2 – 4} – \frac{1}{x – 2} ) при ( x ) стремящемся к 2 можно проанализировать на предмет её поведения в окрестности точки ( x = 2 ).

Сначала проверим знаменатель дроби ( \frac{1}{x – 2} ). При ( x \to 2 ), знаменатель стремится к 0, что может привести к бесконечности, если числитель не стремится к 0.

Разложим числитель и знаменатель на множители:

[ f(x) = \frac{2x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} ]

Теперь рассмотрим предел при ( x \to 2 ):

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \left( \frac{2x}{(x-2)(x+2)} – \frac{1}{x-2} \right) ]

Здесь числитель и знаменатель первого слагаемого оба стремятся к 0 при ( x \to 2 ), что создаёт неопределённость типа ( \frac{0}{0} ). Используем правило Лопиталя:

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \frac{\frac{d}{dx}[2x]}{\frac{d}{dx}[(x-2)(x+2)]} – \lim_{{x \to 2}} \frac{\frac{d}{dx}[1]}{\frac{d}{dx}[(x-2)]} ]

Вычислим производные:

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \lim_{{x \to 2}} \frac{2}{2x} – \lim_{{x \to 2}} \frac{-1}{(x-2)^2} ]

Подставляем ( x = 2 ):

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \frac{2}{4} – \frac{-1}{0^2} ]

[ \lim_{{x \to 2}} f(x) = \frac{1}{2} + \infty ]

Таким образом, предел функции ( f(x) ) при ( x \to 2 ) равен ( \infty ).

Если у вас есть ещё вопросы или нужно что-то ещё разъяснить, пожалуйста, дайте знать!

Глава 3

11. Найти предел функции f(x) = (2x^3 + x^2 – 5)/( x^3 + x – 1) при x стремящемся к бесконечности.

ChatGPT

Для нахождения предела функции при x стремящемся к бесконечности можно разделить каждое слагаемое на x^3 и применить правило Лопиталя для бесконечностей.

f(x) = (2x^3 + x^2 – 5)/( x^3 + x – 1) = (2 + 1/x – 5/x^3)/(1 + 1/x^2 – 1/x^3)

Теперь применяем правило Лопиталя:

lim (x->?) (2 + 1/x – 5/x^3)/(1 + 1/x^2 – 1/x^3)

= lim (x->?) (0 – 15/x^4)/(0 – 3/x^4)

= lim (x->?) 5

Таким образом, предел функции f(x) при x стремящемся к бесконечности равен 5.

GPTutor

Чтобы найти предел (\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}}), давайте разложим числитель и знаменатель в ряды Тейлора до необходимой степени, когда ( x \to \infty ).

Числитель:[ 2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3} ]

Разложим первые члены в ряд Тейлора:

[ 2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3} = 2 + \frac{1}{x} – 5 \cdot \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right) ]

Знаменатель:[ 1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} ]

Разложим первые члены в ряд Тейлора:

[ 1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} = 1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right) ]

Теперь подставим эти разложения в исходное выражение:

[ \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}} = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} – 5 \cdot \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)}}{{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} + O\left(\frac{1}{x^4}\right)}} ]

Теперь выделим основные члены в числителе и знаменателе:

[ = \lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x}}}{{1}} = \lim_{{x \to \infty}} \left(2 + \frac{1}{x}\right) ]

Поскольку ( \lim_{{x \to \infty}} \frac{1}{x} = 0 ), то предел равен:[ = 2 ]

Таким образом, (\lim_{{x \to \infty}} \frac{{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}}{{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}} = 2 ).

Выводы:

Работа над ошибками.

Маша

Применяем правило Лопиталя:lim (x->?) (2 + 1/x – 5/x^3)/(1 + 1/x^2 – 1/x^3)

Чтобы найти предел[\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}}]с помощью правила Лопиталя, проверим, что предел имеет форму (\frac{\infty}{\infty}):

Числитель: (2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3} \to 2)

Знаменатель: (1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3} \to 1)

В данном случае предел не имеет формы (\frac{\infty}{\infty}), поскольку при (x \to \infty) числитель стремится к 2, а знаменатель к 1. Таким образом, можно сразу подставить значение:

[\frac{2 + 0 – 0}{1 + 0 – 0} = \frac{2}{1} = 2]

Следовательно,

[\lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3}}{1 + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}} = 2]

Найти производную (1/x – 5/x^3 + 1/x^2 – 1/x^3)

Чтобы найти производную функции [f(x) = \frac{1}{x} – \frac{5}{x^3} + \frac{1}{x^2} – \frac{1}{x^3}]

, можно преобразовать ее в более удобный вид и применить правило производной:

[f(x) = x^{-1} – 5x^{-3} + x^{-2} – x^{-3}]

Теперь найдем производную каждого члена:

( \frac{d}{dx}(x^{-1}) = -x^{-2} )