Теория струн и скрытые измерения вселенной

Мой изначальный скептицизм побудил меня досконально исследовать статью Гамильтона, вчитываясь буквально в каждую строку, прежде чем я окончательно согласился с ней. При этом доказательство Гамильтона столь захватило меня, что по прочтении я немедленно поручил трем моим аспирантам из Принстона начать работу над его уравнениями. Тогда же я посоветовал Гамильтону попытаться воспользоваться своим подходом для доказательства гипотезы геометризации Тёрстона, относящейся к классификации трехмерных многообразий по восьми типам геометрий, расширенная форма которой включает в себя и общее доказательство гипотезы Пуанкаре. К сожалению, в то время я был мало осведомлен о каких-либо других методах, которые бы пригодились для дальнейшей работы над этим вопросом. Как ни удивительно, Гамильтон взялся за эту задачу с огромной энергией, постепенно продвигаясь в области исследований потока Риччи на протяжении следующих двадцати лет, работая в основном самостоятельно, хотя и находясь в тесном контакте со мной и моими студентами. Контакты между нами заметно оживились в 1984 году, когда мы с Гамильтоном вместе поступили на работу в Калифорнийский университет в Сан-Диего, где заняли смежные офисы. Посещение его семинаров по потокам Риччи было обязательным для всех моих студентов. Сотрудничество с Гамильтоном позволило нам узнать много нового, впрочем, я надеюсь, что он также перенял кое-что и от меня. Переехав в Гарвард в 1987 году, я больше всего жалел об утраченной возможности работать в тесном контакте с Гамильтоном.

Не обращая внимания на окружающих, Гамильтон с неколебимой решительностью занимался решением своей задачи. Помимо прочего им было опубликовано полдюжины важнейших статей — порядка девяноста страниц каждая, — и в конце концов, ни один из его аргументов не оказался бесполезным. Все они пригодились при восхождении на гору Пуанкаре.

Так, например, Гамильтон показал, что все без исключения геометрические объекты, имеющие округлую форму, могут быть преобразованы в сферы при помощи потока Риччи — в полном соответствии с идеями Пуанкаре. Однако, как им было установлено, при деформации более сложных объектов будут неминуемо возникать выступы, складки и прочие сингулярности. Возможности обойти эти сингулярности не было, поэтому столь важным являлся вопрос, с какими именно сингулярностями можно столкнуться в данном процессе. Полный список всевозможных особенностей, которые могут возникнуть при деформации, был сформулирован Гамильтоном на основании моей совместной работы с Питером Ли, к которой я привлек его внимание за несколько лет до этого, — впрочем, Гамильтон весьма впечатляюще обобщил наши результаты.

Мой личный вклад в описываемые исследования восходит к 1973 году, когда я приступил к использованию нового метода, разработанного мной для гармонического анализа — области математики, насчитывающей несколько сотен лет и используемой для описания равновесных ситуаций. Созданный мной метод был основан на так называемом принципе максимума, который предполагает рассмотрение худшего из всех возможных сценариев. Представим, к примеру, что нам требуется доказать неравенство А < 0. Для этого нужно сформулировать вопрос так: «Какое максимальное значение может принимать А?» Если рассмотреть наихудший случай, то есть взять наибольшее из возможных значений А и его величина все равно останется меньше нуля, то этим мы и подтвердим истинность исходного утверждения. На этом работу по доказательству можно считать законченной и насладиться заслуженным отдыхом. Я, иногда работая сам, иногда — совместно с Ш. Ю. Ченгом, моим бывшим однокурсником из Китайского университета Гонконга, применил этот принцип к огромному количеству нелинейных проблем. Работа включала в себя исследование уравнений, повсеместно возникающих в геометрии и физике и носящих в математике название эллиптических. Хотя подобные задачи, как правило, чрезвычайно сложны, в них отсутствует зависимость от времени, и поэтому их можно рассматривать как стационарные, что заметно упрощает решение.