Теория струн и скрытые измерения Вселенной

«До того как теория струн поразила наше воображение, большинство физиков особо не задумывались о геометрии и топологии, — говорит физик Пенсильванского университета Бёрт Оврут. — Мы просто записывали уравнения типа уравнений Янга-Миллса и пытались их решить». Единственной загвоздкой является то, что эрмитовы уравнения Янга-Миллса являются существенно нелинейными дифференциальными уравнениями, которые никто не может решить. «До сегодняшнего дня, — говорит Оврут, — нет ни одного известного [явного] решения эрмитовых уравнений Янга-Миллса в шестимерном многообразии Калаби-Яу. Следовательно, мы должны были бы остановиться на достигнутом, если бы не работа некоторых геометров, показавших нам иной путь».[161]

Расслоения предлагают нам обходной путь для этого нелинейного дифференциального барьера, поскольку мы можем считать расслоение, прикрепленное к многообразиям Калаби-Яу, альтернативным описанием калибровочных полей, определяемых уравнениями Янга-Миллса. Как это сделать, описывает теорема DUY(ДУЯ), название которой составлено из первых букв фамилий Саймона Дональдсона (Simon Donaldson) (Королевский колледж), Карена Уленбека (Karen Uhlenbeck) (Техасский университет) и моей (Yau).

Идея, лежащая в основе теоремы, заключается в том, что эрмитовы уравнения Янга-Миллса определяют поле, которое может быть представлено векторным расслоением. Мы доказали, что если построить расслоение на Калаби-Яу, которое удовлетворяет конкретному топологическому условию, а именно является устойчивым или технически — с более устойчивым углом наклона (крутизной), то такое расслоение допускает существование уникального калибровочного поля, которое автоматически удовлетворяет этим уравнениям. «Это не имеет смысла, если вы меняете одну чрезвычайно сложную проблему на другую крайне трудную, — отмечает Оврут. — Но вторая проблема создания устойчивого расслоения намного проще, в результате не надо вообще решать эти ужасные дифференциальные уравнения».[162]

Иными словами, мы нашли геометрическое решение проблемы, которую не могли решить другими способами. Мы показали, что не стоит волноваться о полях или дифференциальных уравнениях. Все, о чем следует беспокоиться, это о построении устойчивого расслоения. Что означает выражение «расслоение с устойчивым наклоном»? Когда мы говорили о наклоне кривой, мы отметили, что это число, связанное с кривизной, а устойчивость наклона расслоения в данном случае связана с кривизной расслоения. Проще говоря, «наклон выражает чувство равновесия, — объясняет математик Рон Донаги из Пенсильванского университета. — Он указывает, что кривизна в одном направлении не может быть намного больше, чем кривизна в другом направлении. Независимо от выбранного пути, ни одно направление не может быть слишком экстремальным относительно других направлений».[163] Любое расслоение можно разделить на более мелкие части или субрасслоения, а требование устойчивости означает, что наклон любого из этих субрасслоений не может быть больше наклона расслоения как единого целого. Если это требование выполняется, то такое расслоение является расслоением с устойчивым наклоном, а калибровочные поля удовлетворяют эрмитовым уравнениям Янга-Миллса. В результате условие суперсимметрии будет выполнено.

В некотором смысле идея устойчивости наклона, являющаяся центральной для теоремы DUY, представляет собой следствие теоремы Калаби-Яу, поскольку эта теорема выдвигает определенные требования кривизны к многообразию Калаби-Яу, гарантируя, что касательное расслоение будет обладать устойчивым наклоном. А тот факт, что уравнения Калаби-Яу и эрмитовы уравнения Янга-Миллса одинаковы для касательного расслоения, когда в основе лежит метрика Калаби-Яу, является еще одним следствием доказательства гипотезы Калаби, которое заставило меня подумать о взаимосвязи между устойчивостью наклона и эрмитовыми уравнениями Янга-Миллса. Возникшая у меня идея заключалась в том, что расслоение будет удовлетворять этим уравнениям тогда и только тогда, когда оно устойчивое.

По сути, Дональдсон доказал это в своей части теоремы DUY, опубликованной им в 1985 году, конкретно относящейся к особому случаю двух комплексных размерностей. Уленбек и я работали независимо от Дональдсона, и в работе, вышедшей в свет через год, мы доказали, что аналогичный результат применим к любой комплексной размерности и соответственно к любому пространству с четным количеством реальных размерностей. Я считаю DUY одной из самых сложных теорем, которые я когда-либо доказывал или — в данном случае — доказал совместно с другим ученым. В настоящее время наш труд вместе с работой Дональдсона называется DUY.