Теория струн и скрытые измерения Вселенной

Как заметил Калаби: «Я изучал кэлерову геометрию и понял, что пространство, которое может иметь по крайней мере одну кэлерову метрику, может также иметь и другие кэлеровы метрики. Найдя одну из них, не составит труда найти и прочие. Моей целью было нахождение такой метрики, которая была бы лучше всех остальных — более “округлая”, если так можно выразиться, — та, которая дает больше всего информации и сглаживает все неровности многообразия». Таким образом, гипотеза Калаби, по его словам, посвящена тому, как найти «лучшую» метрику.[43]

Можно выразить это словами Грина: «Мы пытаемся найти ту единственную метрику, которую дал нам Бог».[44]

Лучшей с геометрической точки зрения иногда является так называемая «однородная» метрика. В этом случае, зная свойства одной из частей поверхности, можно сделать выводы о поверхности в целом. Благодаря постоянной кривизне и постоянной кривизне в двухмерном направлении, сфера представляет собой пример однородной метрики. Обладая совершенной симметрией, сфера со всех сторон выглядит одинаково, в отличие, например, от футбольного мяча, имеющего на поверхности швы и неровности. В то время как для сферы однородность метрики при положительной кривизне является возможной, многообразия Калаби-Яу, имеющие более одного комплексного измерения, могут характеризоваться постоянной кривизной в двухмерном направлении только в том случае, если они являются совершенно плоскими, — в этом случае кривизна в двухмерном направлении всюду равна нулю. Если не рассматривать этот вариант, то, по словам Калаби, «лучшим из остающихся вариантов будет попытка сделать кривизну настолько постоянной, насколько это только возможно».[45]Лучшее, что нам удалось, — сделать постоянной кривизну Риччи, точнее, приравнять ее к нулю.

Гипотеза Калаби в целом является более общим утверждением и не ограничивается случаем равенства нулю кривизны Риччи. Случай постоянной кривизны Риччи также очень важен, особенно случай постоянной отрицательной кривизны, который использовался мной для решения некоторых важных проблем алгебраической геометрии, — о чем пойдет речь в шестой главе. Однако случай нулевой кривизны Риччи особо важен, поскольку кривизна в данном случае не просто постоянна, а равна нулю. А это, в свою очередь, порождает особую проблему — задачу нахождения метрики для многообразия или класса многообразий, которые, будучи близки к совершенству, тем не менее интересны с геометрической точки зрения.

В этом и состояло препятствие. Через два десятилетия после того, как Калаби сформулировал свое утверждение, очень немногие из математиков — как, впрочем, и сам автор гипотезы — верили в ее истинность. По сути, она была слишком хороша, чтобы быть истинной. Я также находился в рядах скептиков, но, не желая оставаться далее на вторых ролях, скрывал свои сомнения. С другой стороны, я горел желанием доказать ее неверность.

Пятая глава Доказывая Калаби

Математическое доказательство чем-то напоминает восхождение на гору. На первом этапе, конечно, требуется найти гору, которая стоила бы восхождения. Представьте себе отдаленную пустынную местность, где еще не ступала нога человека. В наши дни такую местность обнаружить непросто, не говоря уже о том, удастся ли там найти что-то стоящее. Затем альпинист разрабатывает план, как добраться до вершины, который кажется ему безупречным, по крайней мере, на бумаге. После приобретения нужных инструментов и оборудования, а также необходимых навыков, авантюрист приступает к восхождению, однако останавливается, столкнувшись с неожиданными трудностями. Но те, кто пойдет по его следам, используя те из его приемов, которые оказались удачными, выбирая другие пути, — достигнут новых высот на пути к вершине. Наконец появляется некто, не только имеющий хороший план, позволяющий избежать прошлых ошибок, но и решительно настроенный на то, чтобы покорить эту вершину и, возможно, установить на ней флаг в знак своего достижения. В математике угроза жизни и здоровью первопроходцев не столь велика, да и их приключения едва ли покажутся захватывающими кому-либо со стороны. И завершение долгого доказательства ученый не отмечает установкой флага. Он (или она) публикует это доказательство в научном журнале. Или в подстрочном примечании. Или в техническом приложении. В любом случае, и в нашей области есть и азарт, и опасность, с которыми мы постоянно сталкиваемся в процессе поисков, и успех сопутствует тем из нас, кому удалось по-новому взглянуть на скрытые тайны природы.