"Теорія та методика навчання математики, фізики, інформатики. Том-1"

Незважаючи на те, що формули повної імовірностей та Байєса є наслідками теорем додавання та множення імовірностей, на нашу думку доцільним є виокремити алгоритм розв’язування задач з допомогою цих формул. При цьому рекомендується така послідовність розв’язування задач.

1) Формулюються гіпотези В ₁,  В ₂, …,  В _nі подія  А. При цьому слід перевірити повноту групи гіпотез, а також те, що подія  Аможе відбутися тільки після появи однієї із гіпотез.

2) Знаходяться імовірності гіпотез. Правильність розрахунків контролюється виконанням рівності . Обчислюються або з умови задачі вибираються умовні імовірності …,

3) Вибирається формула повної імовірності або формули Байєса. Останні використовуються тоді, коли є інформація про відбуття випадкової події.

Наведений вище алгоритм буде корисним тоді, коли студент (при виконанні індивідуальних завдань чи на підсумковому контролі) при аналізі задачі зробив висновок, що для розв’язування цієї задачі потрібно використати або формулу повної імовірності, або формули Байєса. Поштовхом для такого висновку повинна бути наявність в задачі припущень.

В темі “Повторні незалежні випробування (схема Бернуллі)”, як і для попередніх тем, залишається актуальним питання вибору тієї чи іншої формули при розв’язуванні конкретних задач. Це зумовлено, по-перше, тим, що у всіх трьох формулах (Бернуллі, локальній формулі Лапласа та Пуассона) ліві частини однакові. З другого боку, при знаходженні імовірності P _n( m ₁ ≤m≤m ₂) зовсім не обов’язково (а деколи й помилково) використовувати інтегральну формулу Лапласа. В зв’язку із цим рекомендується дотримуватися такого алгоритму.

1) Формулюються зміст випадкової події  Аі випробування. За умовою задачі визначаються n– число випробувань і m– число появи події  А. Аналітично записується шукана імовірність з допомогою отриманих значень. Обчислюються імовірності рта qпояви та непояви події  Ав одному випробуванні.

2) Обчислення P _n( m)

а) Якщо nмале ( n≤15) то використовується формула Бернуллі для будь-яких значень рта q.

б) Якщо nвелике, а рта qнемалі, тобто при виконанні нерівності npq>9 тоді використовується локальна формула Лапласа.

в) Якщо nвелике, а рдуже мале (значно менше 0,1) і λ=np≤9 то застосовується формула Пуассона. При великому n, дуже малому q( q << 0,1) і при виконанні нерівності λ'=np≤9 слід перейти до числа невиконання події  А.

3) Знаходження P _n( m ₁ ≤m≤m ₂)

а) Якщо nмале тоді потрібно використати спочатку теорему додавання імовірностей, а потім формулу Бернуллі.

б) Для великих nі немалих рта q, тобто при виконанні нерівності npq>9 використовується інтегральна формула Лапласа.

в) Для великих nі малих рвикористовується або теорема додавання імовірностей з наступним застосуванням формули Пуассона, або здійснюється перехід до протилежної події з наступним використанням теореми додавання імовірностей і формули Пуассона. При виборі однієї із альтернатив слід користуватися мінімізацією числа доданків в теоремі додавання імовірностей. Якщо nвелике, а qмале і λ'=nq≤9, тоді потрібно перейти до числа невиконання події  А, а потім виконати рекомендації цього підпункту.

На нашу думку, доцільно запропонувати кращим студентам створити програму для персональних комп’ютерів, ідея якої полягає в поступовому домноженні співмножників на рта q.

Розв’язування задач з розділу “Математична статистика” в більшій мірі “алгоритмізованіше” в порівнянні із розділом “Теорія імовірностей”. Разом з тим актуальним стає розуміння студентами основних задач та ідей математичної статистики, з’ясування глибинних зв’язків між двома основними розділами ТІМС, вміння робити коректні висновки (зокрема, економічні) як підсумок розв’язування задач.

Саме ці проблеми трималися в полі зору при написанні посібника [2].

Література

Єрьоменко В. О., Шинкарик М. І. Теорія імовірностей. – Тернопіль: Економічна думка, 2001. – 176 с.

Єрьоменко В. О., Шинкарик М. І. Математична статистика. – Тернопіль: Економічна думка, 2001. – 247 с.

СТИМУЛЮВАННЯ ПІЗНАВАЛЬНОЇ АКТИВНОСТІ

УЧНІВ В ПРОЦЕСІ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ

НЕСТАНДАРТНИХ ЗАДАЧ

Л.М. Жарікова

м. Кривий Ріг, Середня загальноосвітня школа №111

Зростання долі інтелектуальної праці у всіх світових сферах виробництва викликає загальну потребу в людях, які володіють не тільки новітніми технологіями, а й прийомами швидкого перенавчання. У зв’язку з цим відбуваються зміни в практиці завдань і цінностей освіти. Найважливіша серед них – переорієнтація з предметного навчання на процесуальні та мотиваційні аспекти освіти, спрямовані на формування особистості.

Цей підхід, з однієї сторони, передбачає не лише засвоєння учнем готових знань, а й способів його операціоналізації, способів міркувань, що застосовуються в математиці, оволодіння цими способами організації навчальної діяльності, доведення математичних тверджень, розв’язувань задач, з іншої – розвиток в учнів культури логічного мислення, інтуїції, вміння створити математичні моделі, образи.