Том 1. Механика, излучение и теплота

Здесь мы сталкиваемся со странным и в то же время очень простым явлением, никак непосредственно с квантовой механикой не связанным. Оно известно всем, кто занимался волнами, даже не зная квантовой механики, а именно: нельзя однозначно определить длину волны для короткого цуга волн. У такого цуга нет определенной длины волн; в волновом числе имеется неопределенность, связанная с конечной длиной цуга, а значит, и неопределенность в импульсе.

§ 2. Измерение положения и импульса

Чтобы понять, почему в квантовой механике появляется неопределенность в положении и (или) в импульсе, рассмотрим два примера. Мы уже видели раньше, что если бы этого не было, если бы можно было параллельно измерять и местонахождение, и импульс какого-то тела, то возник бы парадокс. К счастью, парадокса не возникает, а то обстоятельство, что неопределенность естественным образом вытекает из волновой картины, свидетельствует, что все здесь взаимосвязано.

Вот первый пример, показывающий связь импульса и координаты в условиях, которые легко себе представить. Пусть сквозь единственную щель в экране проникают частицы, пришедшие издалека и обладающие определенной энергией. Движутся все они горизонтально (фиг. 38.2).

Фиг. 38.2. Дифракция частиц, проходящих сквозь щель.

Сосредоточим наше внимание на вертикальной составляющей импульса. У каждой из этих частиц имеется (в обычном классическом смысле) горизонтальная составляющая импульса определенной величины р₀. Вертикальная составляющая импульса р_y (до того, как частица пройдет сквозь прорезь) также в классическом смысле хорошо известна: частицы не движутся ни вверх, ни вниз, потому что их источник очень удален, значит, вертикальная составляющая импульса частицы в точности равна нулю. А теперь предположим, что ширина щели равна В. Когда частица пройдет через щель, то ее вертикальная координата у определится с хорошей точностью ± В. Это значит, что неопределенность в положении частицы Δy будет порядка В. Может, вы захотите сказать, что Δp_y=0, потому что импульс частиц, мол, точно горизонтален? Но это не так. Это прежде мы знали, что импульс имеет только горизонтальную составляющую, а теперь мы этого уже не знаем. Перед тем как частица проникла сквозь щель, мы не знали ее вертикальной координаты. После того как частица проникла сквозь щель, мы узнали ее вертикальную координату, но потеряли информацию об ее вертикальной составляющей импульса! Почему? Да потому, что, согласно волновой теории, происходит отклонение, или дифракция, волн, проникших сквозь щель, подобно тому как это бывает со светом. Поэтому есть конечная вероятность того, что частицы, пройдя сквозь щель, не пойдут прямо вперед. Вся картина распространения расплывается за счет дифракции, и угол этого расширения (угол, под которым виден первый минимум) есть мера неопределенности направления частицы.

Каким образом происходит расплывание изображения в ширину? Расплывание означает, что существует некая вероятность того, что частица отправится вверх или вниз, т. е. приобретет компоненту импульса, направленную вверх или вниз. (Мы говорим и о вероятности и о частице, потому что дифракционную картину можно обнаружить с помощью счетчика частиц, а когда счетчик регистрирует частицу, скажем, в точке С на фиг. 38.2, то он регистрирует частицу целиком. А это значит в классическом смысле, что частица имеет вертикальный импульс, направляющий ее из щели прямо в точку С.)

Чтобы примерно представить себе степень расплывания импульса, напишем, что вертикальный импульс р_у размазан на р₀Δθ, где р₀ — горизонтальный импульс. Чему же равно Δθ в размазанной картине? Известно, что первый минимум наблюдается при угле Δθ таком, что в этом направлении волна от дальнего края щели должна отстать на одну свою длину от волны от ближнего края (мы об этом уже говорили в гл. 30). Стало быть, Δθ равно λ/B, и тем самым Δр_y в этом эксперименте равно р₀λ/В. Чем меньше будет В, чем точнее будет определяться положение частицы, тем шире будет дифракционная картина. Вспомните, что когда мы закрывали щели в эксперименте с микроволнами, то интенсивность в стороне от щели возрастала. Значит, чем уже щель, тем шире становится картина дифракции, тем правдоподобнее, что мы обнаружим у частицы импульс, направленный в сторону. И неопределенность в вертикальном импульсе, действительно, обратно пропорциональна неопределенности в у, потому что их произведение равно p₀λ.

Но λ — это длина волны, а р₀ — импульс, и в соответствии с квантовой механикой их произведение — это постоянная Планка h. Получается, что произведение неопределенностей в вертикальном импульсе и в вертикальной координате есть величина порядка h:

(38.3)