Том 1. Механика, излучение и теплота

совершается за счет энергии Q₁, полученной из резервуара. Во время расширения pV=NkT₁ или

значит,

(44.4)

т. е.

Вот то тепло, которое взято из резервуара при температуре Т₁. Точно так же можно вычислить и тепло, отданное при сжатии (кривая 3 на фиг. 44.6) резервуару при температуре T₂:

(44.5)

Чтобы закончить анализ, нужно еще найти соотношение между V_c/V_d и V_b/V_a. Для этого взглянем сначала на кривую 2, которая описывает адиабатическое расширение от b до c. В это время pV^γ остается постоянным. Поскольку pV=NkT, то формулу для адиабатического расширения в конечных точках пути можно записать в виде (pV)V^γ-1=const, или TV^γ-1=const, т. е.

(44.6)

Так как кривая 4 описывает адиабатическое сжатие от d до а, то

(44.6а)

Если поделить эти равенства одно на другое, то мы выясним, что отношения V_b/V_a и V_c/V_d равны, поэтому равны и логарифмы в (44.4) и (44.5). Значит,

(44.7)

Это и есть то соотношение, которое мы искали. Хотя оно доказано для машины с идеальным газом, мы уже знаем, что оно справедливо для любой обратимой машины.

А теперь посмотрим, как можно вывести этот универсальный закон на основании только логических аргументов, не интересуясь частными свойствами веществ. Предположим, что у нас есть три машины и три температуры Т₁, Т₂ и Т₃. Одна машина поглощает тепло Q₁ при температуре T₁, производит работу W₁₃ и отдает тепло Q₃ при температуре T₃ (фиг. 44.8).

Фиг. 44.8. Спаренные машины 1 и 2 эквивалентны машине 3.

Другая машина работает при перепаде температур T₂ и Т₃. Предположим, что эта машина устроена так, что она поглощает то же тепло Q₃ при температуре Т₃ и отдает тепло Q₂. Тогда нам придется затратить работу W₃₂, ведь мы заставили машину работать в обратном направлении. Цикл первой машины заключается в поглощении тепла Q₁ и выделении тепла Q₃ при температуре Т₃. Вторая машина в это время забирает из резервуара то же самое тепло Q₃ при температуре T₃ и отдает его в резервуар с температурой Т₂. Таким образом, чистый результат цикла этих спаренных машин состоит в изъятии тепла Q₁ при температуре Т₁ и выделении тепла Q₂ при температуре T₂. Эти машины эквивалентны третьей, которая поглощает тепло Q₁ при температуре Т₁, совершает работу W₁₂ и выделяет тепло Q₂ при температуре Т₂. Действительно, исходя из первого закона, можно сразу же показать, что W₁₂=W₁₃-W₃₂:

(44.8)

Теперь можно получить закон, связывающий коэффициенты полезного действия машин. Ведь ясно, что между эффективностями машин, работающих при перепаде температур Т₂-T₃, T₂-Т₃ и Т₁-Т₂, должны существовать определенные соотношения.