Том 1. Механика, излучение и теплота

Сначала немного займемся математикой. Если величина есть функция от двух переменных, то дифференцировать ее придется осторожнее, чем мы это делали раньше, имея дело с одной переменной. Что мы понимаем под производной давления по температуре? Изменение давления, сопровождающее изменение температуры, разумеется, зависит от того, что случилось с объемом, пока менялась температура. Прежде чем понятие производной по температуре обретет ясный смысл, надо сказать что-то определенное об изменении объема. Например, можно спросить, какова скорость изменения Р относительно Т при постоянном объеме. Тогда отношение изменений обеих этих величин, по существу, обычная производная, которой привыкли присваивать символ dP/dT. Мы обычно используем особый символ ∂P/∂T, он напоминает нам, что Р зависит, кроме Т, еще и от переменной V, и эта переменная не изменяется. Чтобы подчеркнуть тот факт, что V не изменяется, мы не только используем символ ∂, но еще пометим индексом остающуюся постоянной переменную (∂P/∂T)_у. Конечно, поскольку имеются только две независимые переменные, то это обозначение излишне, но оно, быть может, поможет нам легче пройти сквозь термодинамические дебри частных производных.

Предположим, что функция f(x, у) зависит от двух независимых переменных х и у. Под символом (∂f/∂x)_у мы понимаем самую обычную производную, получаемую общепринятым способом, если у постоянна:

Аналогично определяется и

Например, если f(x, у)=х²+ух, то (∂f/∂x)_y=2x+y, а (∂f∂y)_x=х. Мы можем распространить это на старшие производные: ∂²f/∂y² или ∂²f/∂y∂x. Последний случай означает, что сначала f продифференцировано по х, считая у постоянным, а затем результат продифференцирован по у, но теперь постоянным стало х. Порядок дифференцирования не имеет значения: ∂²f/∂x∂y=∂²f/∂y∂x.

Нам придется подсчитывать изменение Δf, происходящее с f(x, у), если х переходит в х+Δх, а у переходит в y+Δy. Будем предполагать, что Δx и Δy бесконечно малы:

(45.1)

Последнее уравнение и есть основное соотношение, связывающее приращение Δf с Δx и Δy.

Посмотрим, как используется это соотношение; для этого вычислим изменение внутренней энергии U(Т,V), если температура Т переходит в Т+ΔT, а объем V переходит в V+ΔV. Используем формулу (45.1) и запишем

(45.2)

В предыдущей главе мы нашли другое выражение для изменения внутренней энергии ΔU; тогда к подводимому газу прибавлялось тепло ΔQ:

(45.3)

Сравнив (45.2) и (45.3), можно было бы подумать, что P=(∂U/∂V)_T, но это не так. Чтобы получить верный результат, сначала предположим, что газ получает тепло ΔQ, причем объем его не изменяется, так что ΔV=0. Если ΔV=0, то уравнение (45.3) говорит нам, что ΔU=ΔQ, а уравнение (45.2) утверждает, что ΔU=(∂U/∂T)_VΔT, поэтому (∂U/∂T)_V=ΔQ/ΔT. Отношение ΔQ/ΔT—количество тепла, которое нужно подвести к телу, чтобы изменить его температуру на один градус, удерживая объем постоянным,— называется удельной теплоемкостью при постоянном объеме и обозначается символом C_V. Таким образом, мы показали, что

(45.4)

Теперь снова подведем к газу тепло ΔQ, но на этот раз договоримся, что температура газа останется постоянной, а объему мы позволим измениться на ΔV. В этом случае анализ сложнее, но мы можем вычислить ΔU, используя аргументы Карно, для чего нам придется снова призвать на помощь цикл Карно из предыдущей главы.

Диаграмма давление — объем для цикла Карно изображена на фиг. 45.1. Мы уже показали, что полная работа, совершаемая газом при обратимом цикле, равна ΔQ(ΔT/T), где ΔQ — тепло, подводимое к газу при температуре Т во время изотермического расширения от V до V+ΔV, а Т—ΔТ — это конечная температура, которой достигает газ при адиабатическом расширении на втором этапе цикла. Сейчас мы покажем, что эта работа равна, кроме того, заштрихованной площади на фиг. 45.1. Работа газа во всех случаях жизни равна ∫PdV; она положительна, если газ расширяется, и отрицательна, когда он сжимается. Если вычертить зависимость Р от V, то изменения Р и V изобразятся кривой, в каждой точке которой определенному значению Р соответствует определенное значение V. Работа, произведенная газом, пока его объем изменяется от одного значения до другого (интеграл ∫PdV),— это площадь под кривой, соединяющей начальное и конечное значения V. Применим эту идею к циклу Карно и убедимся, что если обойти цикл, помня о знаке совершенной газом работы, то чистая работа газа будет равна заштрихованной на фиг. 45.1 площади.