Том 13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики

Решим еще одну задачу. Владелец пекарни обеспокоен тем, что, как ему кажется, вес готовых булок различается слишком сильно и некоторые булки могут весить меньше, чем допускается стандартом. Для выпечки используются две печи, в которых выпекают хлеб два оператора. В какие-то дни работает первый оператор, в какие-то — второй. В следующей таблице указан вес (в граммах) для выборки булок. Измерения производились в течение 20 дней:

Вес булки должен равняться (220 ± 10) граммов. Допустим, что представленная выборка является репрезентативной. Нужно ответить на вопросы, действительно ли существует проблема; что происходит; что нужно сделать, чтобы устранить проблему, если она вообще существует.

Если вы попытаетесь сделать какие-то выводы «на глаз» на основании данных, представленных в таблице, то, скорее всего, ошибетесь. Хотя речь идет всего о 160 значениях, выводы, сделанные «на глаз», скорее всего, будут неточными. Также не следует погружаться в объемные вычисления или использовать сложные методы. Достаточно представить данные графически, как показано далее.

Гистограмма веса 160 хлебобулочных изделий.

Эта диаграмма называется гистограммой. Она крайне полезна для анализа вариации данных.

В нашем примере гистограмма указывает, что проблема действительно существует, так как вес некоторых булок меньше минимально допустимого. Иными словами, речь идет не об исключениях, а о естественной вариации веса булок.

На следующих гистограммах представлены данные по каждой печи и по каждому оператору в отдельности. Из них четко видно, что неполадки присутствуют в печи № 2, так как центральное значение на соответствующей диаграмме смещено. С печью № 1 все в порядке, и данные для обоих операторов практически совпадают.

Вес булок для каждой печи и каждого оператора в отдельности.

Даже для очень малого объема данных, например для такого:

21,1; 17,8; 19,7; 18,6; 16,8; 21,7; 28,7; 20,1; 19,5; 17,8,

на простой точечной диаграмме видны подробности, которые можно упустить при простом анализе данных «на глаз». В этом случае видно, что одно значение существенно отличается от остальных, и следует проанализировать причины подобного отклонения (возможно, это простая опечатка: оператор ввел 28,7 вместо 18,7). Эти вопросы крайне важны, так как ошибка в исходных данных может перечеркнуть всю проделанную работу.

Представление множества данных с помощью точечной диаграммы.

Если мы хотим учесть порядок выборки данных, гистограммы и точечные диаграммы нам не помогут. Для этого нужно представить данные в виде временного ряда, как показано на следующем рисунке, где четко заметно увеличение среднего роста населения Испании на протяжении XX века. Разумеется, на основе графиков подобного типа нельзя делать экстраполяции: вовсе не факт, что через 1000 лет средний рост будет находиться у отметки 2 м 70 см.

Изменение среднего роста населения Испании в период с 1910 по 1982 год.

_{(Источник: X. Спийкер, X. Перес и А. Камара. Изменение среднего роста населения Испании в XX веке по результатам исследования министерства здравоохранения. Журнал Estadistica Espahola, № 169, 2008 г.)}

Помимо стандартных графиков, которые мы только что рассмотрели, круговых и им подобных диаграмм, можно использовать и другие, не столь известные. Существует, например, диаграмма «стебель — листья».

Рассмотрим практический пример. Группу из 92 студентов попросили измерить пульс. На гистограмме на следующей странице представлены полученные значения (все данные, использованные в этом примере, содержатся в файлах примеров пакета статистических программ Minitab).

Гистограмма и диаграмма «стебель — листья», на которых представлены данные о пульсе для группы из 92 студентов.

При построении диаграммы «стебель — листья» все значения делятся на две части. Наименее значимая часть (в этом случае единицы) образует «листья», другая (десятки и сотни) — «стебель». Наименьшим значением является 48, далее следует 54 и снова 54, затем три раза 58 и так далее до последнего значения, равного 100. Заметим, что строки диаграммы имеют ту же форму, что и столбцы гистограммы. Следовательно, диаграмма «стебель — листья» содержит информацию, представленную на гистограмме, и кроме этого обладает следующими свойствами.

1. Исходные данные можно восстановить. При взгляде на гистограмму можно увидеть, что существует значение в интервале между 45 и 50, но мы не можем сказать, чему оно равно. В диаграмме «стебель — листья» эта информация не теряется.