Том 13. Абсолютная точность и другие иллюзии. Секреты статистики

Рассмотрим другой пример, который кажется более сложным. Существует три различных исхода футбольного матча: победа команды хозяев (1), ничья (X), победа команды гостей (2). Какова вероятность угадать исходы всех 14 матчей тура чемпионата?

Очевидно, что существует всего один благоприятный исход, единственная выигрышная комбинация. Кажется, что подсчитать возможные случаи сложно, но мы можем использовать тот же принцип, что и при подсчете путей из А в С: первый матч имеет три возможных исхода, каждому из которых соответствует три исхода второго матча. Если бы в туре игралось всего два матча, то общее число исходов равнялось бы 3·3 = 3². Продолжив эти рассуждения, придем к выводу, что число возможных исходов 14 матчей тура равно 3¹⁴. Вероятность угадать 14 исходов, выбрав их случайным образом, равна 1/3¹⁴, то есть примерно 1 к 4,8 миллиона.

Для решения подобных задач очень полезны формулы комбинаторики. О некоторых из них мы расскажем при решении задач, объясняемых далее.

Применение правил

Применим объясненные выше правила на примере. Для этого вычислим вероятность того, что при пяти бросках монеты в произвольном порядке решка выпадет три раза, а орел — два. Как вы вскоре увидите, эта задача намного важнее, чем кажется на первый взгляд. Будем решать ее последовательно.

1. Вероятности выпадения решки или орла при одном броске монеты одинаковы и равны 0,3.

2. Вероятность того, что при двух бросках выпадет решка и решка, равна 0,5·0,5 = 0,25. Мы применили правило «и», так как эти события являются независимыми, то есть выпадение решки в первый раз не увеличивает и не уменьшает вероятность того, что решка выпадет и во второй раз.

3. Вероятность того, что при пяти бросках последовательно выпадут решка, решка, решка, орел, орел, равна 0,5·0,5·0,5·0,5·0,5 = 0,5³·0,5² = 0,03125 (мы могли бы записать это число как 0,5³, но для понимания будет лучше представить вероятность выпадения орла и решки в виде отдельных сомножителей).

* * *