Том 18. Открытие без границ. Бесконечность в математике

Художники Возрождения не были связаны строгими церковными нормами, и первые попытки воспользоваться этой свободой происходили в сфере максимально достоверного изображения реальности. Иными словами, художники попытались создать объемное изображение. Для этого начали вырабатываться новые техники рисунка и живописи, позволявшие передать ощущение глубины с помощью света, тени и цвета. Тени, например, указывали на положение объектов, а цвета становились более тусклыми по мере удаления от переднего плана. Все эти приемы помогали передать ощущение глубины, но важнее всего было, что сам рисунок создавался в соответствии с четкими геометрическими правилами. Поэтому неудивительно, что именно в живописи математические открытия проявились особенно ярко.

В контексте этой книги важнее всего, что художники помещали бесконечность на плоскость картины, превратив в нечто актуальное то, что до этого в геометрии считалось лишь потенциальным. Напомним, что Аристотель считал прямую существующей лишь потенциально, но уже Евклид определял ее как отрезок, который можно продолжать бесконечно, и использовал это определение во всех построениях и доказательствах. Этой же формулировке следовали все геометры XVII столетия.

Тем не менее на картинах художников и в чертежах архитекторов XV века появляется точка, которая называется точкой схода. Так возникла центральная перспектива. Эту точку, в которой сходятся параллельные прямые, можно считать точкой, расположенной на актуальной бесконечности. Благодаря этой перспективе таким художникам, как Леон Баттиста Альберти (1404–1472), Филиппо Брунеллески (1377–1446) и Пьеро делла Франческа (1416–1492), которые основывались на трудах древнегреческих геометров, удалось создать ощущение трехмерного изображения.

От перспективы к проекции

Кто-нибудь хоть раз видел две параллельные прямые? Можно с уверенностью сказать: «Нет». На этот вопрос очень просто ответить, особенно если ему предшествует вопрос, на который также можно ответить категорическим нет: «Кто-нибудь хоть раз видел прямую?» Ее никто никогда не видел, так как прямая бесконечна. Максимум, что можно представить, — это отрезок прямой, пусть даже очень длинный, но не бесконечный. Если говорить о параллельных прямых, то максимум, что мы можем увидеть, — это изображение в перспективе, которое мы видим, когда смотрим на очень длинный участок, например, железнодорожных путей. Но мы видим (или же нам кажется) две прямые, которые сходятся в удаленной точке, расположенной на горизонте. Эту точку, в которой, как нам кажется, сходятся прямые, можно считать оптической иллюзией, так как ее нельзя достичь, сколько бы мы ни ехали вперед. С этой ситуацией ежедневно сталкивается, например, машинист скоростного поезда, когда движется в направлении бесконечности со скоростью триста километров в час. Можно быть уверенным, что преследование точки на бесконечности имеет столько же смысла, сколько погоня за собственной тенью.

Что произойдет, если параллельных прямых будет не две, а три, десять, двадцать? Мы получим то, что в геометрии называется пучком прямых, и, что более важно, определим направление. Представим, что в нашей плоскости мы рассматриваем точку на бесконечности (одну из точек, в которых сходятся две параллельные прямые). Каждой из этих точек мы можем присвоить направление на плоскости.

В этом случае все точки на бесконечности будут представлять различные направления на плоскости. Прямую, образованную этими бесконечно удаленными точками, можно назвать бесконечно удаленной прямой. Так мы несколько примитивным способом представили читателю один из интереснейших и красивейших разделов математики — проективную геометрию.

Ее основная идея заключается в том, что две параллельные прямые или две параллельные плоскости (в аффинной геометрии они объединены общим термином «многообразие») не имеют общих точек. Единственное, что их объединяет, — общее направление. Это поняли уже геометры Возрождения, так как они работали с представлениями в трехмерном пространстве.

Идея использовать бесконечно удаленную точку принадлежит Иоганну Кеплеру (1571–1630), который стремился создать единую теорию конических сечений (он расположил второй фокус параболы на бесконечности). Более систематически эту идею изложил Жирар Дезарг (1591–1661), которого можно считать одним из отцов-основателей проективной геометрии, получившей полноценное развитие лишь в XIX веке усилиями французского математика Гаспара Монжа (1746–1818).

Непрерывные преобразования