Том 20

Из области математики. Ничто, кажется, не покоится на такой непоколебимой основе, как различие между четырьмя арифметическими действиями, элементами всей математики. И тем не менее уже с самого начала умножение оказывается сокращенным сложением, деление — сокращенным вычитанием определенного количества одинаковых чисел, а в одном случае — если делитель есть дробь — деление производится путем умножения на обратную дробь. А в алгебре идут гораздо дальше этого. Каждое вычитание (a — b) можно изобразить как сложение (—b+a), каждое деление ^a/_b, как умножение ax¹/_b. При действиях со степенями идут еще значительно дальше. Все неизменные различия математических действий исчезают, всё можно изобразить в противоположной форме.

Степень — в виде корня (х² =  √x⁴), корень — в виде степени ( √x = х²). Единицу, деленную на степень или на корень, — в виде степени знаменателя ( 1/ _√x = х ²; /_х³= х ). Умножение или деление степеней какой-нибудь величины превращается в сложение или вычитание их показателей. Каждое число можно рассматривать и изображать в виде степени всякого другого числа (логарифмы, y = ax). И это превращение из одной формы в другую, противоположную, вовсе не праздная игра, — это один из самых могучих рычагов математической науки, без которого в настоящее время нельзя произвести ни одного сколько-нибудь сложного вычисления. Пусть кто-нибудь попробует вычеркнуть из математики хотя бы только отрицательные и дробные степени, — и он увидит, что без них далеко не уедешь.

(— . — = +, ÷ = + √ —1 и т. д. разобрать до этого).

Поворотным пунктом в математике была Декартова переменная величина. Благодаря этому в математику вошли движение и тем самым диалектика и благодаря этому же стало немедленно необходимым дифференциальное и интегральное исчисление, которое тотчас и возникает и которое было в общем и целом завершено, а не изобретено, Ньютоном и Лейбницем.

* * *

Количество и качество. Число есть чистейшее количественное определение, какое мы только знаем. Но оно полно качественных различий. 1) Гегель, численность и единица, умножение, деление, возведение в степень, извлечение корня. Уже благодаря этому получаются, — чего не подчеркнул Гегель, — качественные различия: простые числа и произведения, простые корни и степени. 16 есть не только суммирование 16 единиц, оно также квадрат от 4 и биквадрат от 2. Более того, простые числа сообщают числам, получающимся из них путем умножения на другие числа, новые, вполне определенные качества: только четные числа делятся на два; аналогичное определение — для 4 и 8. Для деления на 3 мы имеем правило о сумме цифр. То же самое в случае 9 и 6, где оно соединяется также со свойством четного числа. Для 7 особый закон. На этом основываются фокусы с числами, которые непосвященным кажутся непонятными. Поэтому неверно то, что говорит Гегель («Количество», стр. 237) о мыслительной скудости арифметики. Ср., однако: «Мера»[456].

Говоря о бесконечно большом и бесконечно малом, математика вводит такое качественное различие, которое имеет даже характер непреодолимой качественной противоположности: мы имеем здесь количества, столь колоссально отличные друг от друга, что между ними прекращается всякое рациональное отношение, всякое сравнение, и что они становятся количественно несоизмеримыми. Обычная несоизмеримость, например несоизмеримость круга и прямой линии, тоже представляет собой диалектическое качественное различие; но здесь [т. е. в математике бесконечного. Ред.] именно количественная разница однородных величин заостряет качественное различие до несоизмеримости.

* * *

Число. Отдельное число получает некоторое качество уже в числовой системе и сообразно тому, какова эта система. 9 есть не только суммированная девять раз 1, но и основание для 90, 99, 900000 и т. д. Все числовые законы зависят от положенной в основу системы и определяются ею. В двоичной и троичной системе 2 х 2 не = 4, а = 100 или = 11. Во всякой системе с нечетным основанием теряет свою силу различие четных и нечетных чисел. Например, в пятеричной системе 5 = 10, 10 = 20, 15 = 30. Точно так же в этой системе теряет свою силу правило о сумме цифр, делящейся на 3, для чисел кратных трем, resp. [respective — соответственно. Ред.] девяти (6 = 11, 9 = 14). Таким образом, основание числовой системы определяет качество не только себя самого, но и всех прочих чисел.

Если мы возьмем степенное отношение, то здесь дело идет еще дальше: всякое число можно рассматривать как степень всякого другого числа — существует столько систем логарифмов, сколько имеется целых и дробных чисел.

* * *