Том 27. Поэзия чисел. Прекрасное и математика

Так как первые координаты вершин треугольника — рациональные числа, прямая, проведенная через точку, соответствующую иррациональному числу а на числовой прямой, пересечет не только бесконечное множество окружностей Форда, но и бесконечное число криволинейных треугольников. Если большая из трех окружностей, образующих криволинейный треугольник, расположена справа, то в зависимости от значений координат А и В₁ (в зависимости от того, какая из них больше) эти треугольники будут иметь один из двух различных видов, как показано на рисунках.

Подробный анализ этих двух случаев позволяет сделать вывод: всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник первого вида (при А₁ < B₁  см. рисунок выше), разность между а и p₂/q₂ будет строго меньше, чем 1/(5·q²₂). Всякий раз, когда прямая, соответствующая иррациональному числу а, пересекает криволинейный треугольник второго вида (при A₁ > B₁ см. следующий рисунок), разность между а и р₃/q₃ будет строго меньше, чем 1/(5·q²₃). В любом случае пересечения прямой, соответствующей иррациональному числу а, и сторон криволинейных треугольников определят бесконечное множество дробей p/q таких, что |а — р/q| < 1/(5·q²). Иными словами, последовательность криволинейных треугольников, порожденных окружностями Форда, есть геометрическое представление теоремы Гурвица.

Хулита, или диофантово уравнение p² + q² + r² = 3pqr

В нашей истории есть и третий персонаж — диофантово уравнение р² + q² + r² = 3·р·q·r, — которого я сравнил с Хулитой, еще одной героиней романа «Улей».

Диофантово уравнение — это всего лишь алгебраическое уравнение, как правило, от нескольких переменных, однако нас интересуют лишь те его решения, которые являются целыми числами (или рациональными, что в некоторых случаях одно и то же). Эти уравнения получили свое название в честь древнегреческого математика Диофанта Александрийского. О нем мы знаем немного больше того, что сказано в его эпитафии: «Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе. Тут и увидел предел жизни печальной своей»[7]. Решив эту задачу, получим, что Диофант прожил 84 года. Предположительно, он жил в II–III веках.

Нам известно, что Диофант был автором нескольких трудов, важнейший из них — «Арифметика». Из тринадцати книг «Арифметики» сохранилось шесть книг на древнегреческом и еще четыре — в переводе на арабский.

Обложка «Арифметики» Диофанта, изданной в 1621 году с комментариями французского математика Баше де Меризиака.

* * *