Том 3. Квантовая механика

Постоянная К характеризует данный переход. Если бы К была равна нулю, то эта пара уравнений попросту описывала бы наинизшее энергетическое состояние (с энергией U) каждого сверхпроводника. Но обе стороны связаны амплитудой К, выражающей возможность утечки из одной стороны в другую (это как раз известная нам по двухуровневым системам амплитуда «переброса»). Если обе стороны одинаковы, то U₁ будет равно U₂, и я имею право их просто вычесть. Но теперь предположим, что мы подсоединили две сверхпроводящие области к двум полюсам батарейки, так что к переходу оказалась приложенной разность потенциалов V. Тогда U₁-U₂=qV. Для удобства я могу выбрать нуль энергии посредине между U₁ и U₂, и тогда уравнения обратятся в

(19.40)

Это стандартные уравнения двух связанных квантовомеханических состояний. На этот раз давайте проанализируем их по-иному. Сделаем подстановки:

(19.41)

где θ₁ и θ₂— фазы по обе стороны контакта, а ρ₁ и ρ₂— плотности электронов в этих двух точках. Вспомним, что на практике ρ₁ и ρ₂ почти точно совпадают друг с другом и равны ρ₀ — нормальной плотности электронов в сверхпроводящем материале. Если вы теперь подставите эти формулы для ψ₁ и ψ₂ в (19.40) и приравняете вещественные части вещественным, а мнимые — мнимым, то получится четверка уравнений (для краткости обозначено θ₂-θ₁=δ):

(19.42)

(19.43)

Первая пара уравнений говорит, что ρ₁=-ρ₂ «Но,— скажете вы,— они ведь обе должны быть равны нулю, раз ρ₁ и ρ₂ обе постоянны и равны ρ₀». Не совсем. Эти уравнения описывают не все. Они говорят, какими были бы ρ₁ и ρ₂, если бы не было добавочных электрических сил за счет того, что нет баланса между электронной жидкостью и фоном положительных ионов. Они сообщают, как начали бы меняться плотности, и поэтому описывают тот ток, который начал бы течь. Этот ток, текущий от стороны 1 к стороне 2, был бы как раз равен ρ₁ (или -ρ₂), или

(19.44)

Такой ток вскоре зарядил бы сторону 2, если можно было бы забыть, что обе стороны соединены проводами с батареей. Однако он не зарядит область 2 (и не разрядит область 1), потому что возникнут токи, которые выровняют потенциал. В наши уравнения эти токи от батареи не входят. Если бы их добавить, то ρ₁ и ρ₂ оставались бы фактически постоянными, а ток через переход определялся бы формулой (19.44).

Поскольку ρ₁ и ρ₂ действительно остаются постоянными и равными ρ₀, давайте положим 2Kρ₀/ℏ=J₀ и напишем

(19.45)

Тогда J₀, подобно К, есть число, характеризующее данный переход.

Другая пара уравнений (19.43) дает нам θ₁ и θ₂. Нас интересует разность δ=θ₂-θ₁, которую мы хотим подставить в (19.45); из уравнений же мы имеем

(19.46)

Это значит, что можно написать

(19.47)

где δ₀ — значение δ при t=0. Не забывайте также, что q — это заряд пары, q=2q_e. В уравнениях (19.45) и (19.47) содержится важный результат — общая теория переходов Джозефсона.

Так что же из них следует? Сначала приложим постоянное напряжение. Если приложить постоянное напряжение V₀, то аргумент синуса примет вид δ₀+(q/ℏ)V₀t. Поскольку ℏ/q—число маленькое (по сравнению с обычными напряжениями и временами), то синус будет колебаться довольно быстро и в итоге никакой ток не пойдет. (Практически, поскольку температура не равна нулю, небольшой ток все же будет из-за проводимости «нормальных» электронов.) С другой стороны, если напряжение на переходе равно нулю, то ток может пойти! Если нет напряжения, то ток может равняться любой величине между +J₀ и -J₀ (в зависимости от того, каково значение δ₀). Но попробуйте приложить напряжение — и ток обратится в нуль. Это странное поведение недавно наблюдалось экспериментально[101].

Ток можно получить и другим способом: кроме постоянного напряжения — приложить еще и высокую частоту. Пусть

где v≪V. Тогда

Но при малых Δx

Разложив по этому правилу sinδ, я получу

Первый член в среднем дает нуль, но второй в нуль не обращается, если

Значит, если частота переменного напряжения равна (q/ℏ)V₀, то через контакт пойдет ток. Шапиро[102] сообщил, что он наблюдал такой резонансный эффект.

Если вы просмотрите работы на эту тему, то заметите, что в них формула для тока часто записывается в виде

(19.48)

где интеграл берется по пути, ведущему через переход. Причина здесь в том, что если переход находится в поле векторного потенциала, то фаза амплитуды переброса видоизменяется так, как было объяснено вначале [уравнение (19.1)]. Если вы всюду включите такой сдвиг фазы, то получите нужные формулы.

Наконец, я хотел бы описать очень эффектный и интересный опыт по интерференции токов, проходящих через два перехода, который был недавно проделан. Мы привыкли встречаться в квантовой механике с интерференцией амплитуд от двух щелей. Сейчас мы будем иметь дело с интерференцией двух токов, текущих через два перехода между сверхпроводниками. Она вызывается различием в фазах, с которыми сливаются токи, прошедшие по двум разным путям. На фиг. 19.7 показано параллельное соединение двух переходов а и b между сверхпроводниками.