Том 3. Квантовая механика

Если бы этого не было, вероятности «не сохранились бы» и частицы «терялись бы».

Прежде чем идти дальше, соберем все три общих закона для амплитуд, т. е. (3.24) —(3.26):

(3.27)

В этих уравнениях i и j относятся ко всем базисным состояниям какого-то одного представления, тогда как φ и χ — это любое возможное состояние атома. Важно отметить, что закон II справедлив лишь тогда, когда суммирование проводится по всем базисным состояниям системы (в нашем случае по трем: +Т, 0Т, -Т). Эти законы ничего не говорят о том, что следует избирать в качестве базиса. Мы начали с прибора Т, который является опытом Штерна—Герлаха с какой-то произвольной ориентацией, но и всякая другая ориентация, скажем W, тоже подошла бы. Вместо i и j нам пришлось бы ставить другую совокупность базисных состояний, но все законы остались бы правильными; какой-то единственной совокупности не существует. Успех в квантовой механике часто определяется тем, умеете ли вы использовать тот факт, помня, что расчет можно вести из-за этого разными путями.

§ 6. Механика квантовой механики

Мы покажем вам сейчас, почему полезны эти законы. Пусть у нас есть атом в заданном состоянии (под этим мы подразумеваем, что он как-то был приготовлен), и мы хотим знать, что с ним будет в таком-то опыте. Иными словами, мы начинаем с состояния φ атома и хотим знать, каковы шансы, что он пройдет через прибор, который пропускает атомы только в состоянии χ. Законы говорят, что мы можем полностью описать прибор тремя комплексными числами <χ|i> — амплитудами того, что каждое из базисных состояний окажется в состоянии χ, и что мы, пустив атом в прибор, можем предсказать, что произойдет, если опишем состояние атома, задав три числа <i|φ>, — амплитуды того что атом из своего первоначального состояния перейдет в любое из трех базисных состояний. Это очень и очень важная идея. Рассмотрим другую иллюстрацию. Подумаем о следующей задаче. Начинаем с прибора S, затем имеется какая-то сложная мешанина, которую мы обозначаем A, а дальше стоит прибор R:

(3.28)

Под А мы подразумеваем любое сложное расположение приборов Штерна—Герлаха — с перегородками и полуперегородками, под всевозможными углами, с необычными электрическими и магнитными полями, — словом, годится все, что вам придет в голову. (Очень приятно ставить мысленные эксперименты — тогда нас не тревожат никакие заботы, возникающие при реальном сооружении приборов!) Задача состоит в следующем: с какой амплитудой частица, входящая в область A в состоянии (+S), выйдет из него в состоянии (0R), так что сможет пройти через последний фильтр R? Имеется стандартное обозначение для такой амплитуды:

Как обычно, это надо читать справа налево:

Если случайно окажется, это А ничего не меняет, а просто является открытым каналом, тогда мы пишем

(3.29)

эти два символа равнозначны. В более общих задачах мы можем заменить (+S) общим начальным состоянием φ, а (0R) — общим конечным состоянием χ и захотеть узнать амплитуду

Полный анализ прибора А должен был бы дать нам амплитуду <χ|А|φ> для каждой мыслимой пары состояний φ и χ — бесконечное количество комбинаций! Как же сможем мы тогда дать краткое описание поведения прибора А? Это можно сделать следующим путем. Вообразим, что мы видоизменили прибор (3.28) так:

(3.30)

На самом деле это вовсе не видоизменение, потому что широко раскрытые приборы Т ничего нигде не меняют. Но они подсказывают нам, как проанализировать проблему. Имеется определенная совокупность амплитуд <i|+S> того, что атомы из S перейдут в состояние i прибора Т. Затем имеется другая совокупность амплитуд того, что состояние i (по отношению к Т), войдя в А, выйдет оттуда в виде состояния j (по отношению к Т). И наконец, имеется амплитуда того, что каждое состояние j пройдет через последний фильтр в виде состояния (0R). Для каждого допустимого пути существует амплитуда вида

и полная амплитуда есть сумма членов, которые можно получить из всех сочетаний i и j. Нужная нам амплитуда равна

(3.31)

Если (0R) и (+S) заменить общими состояниями χ и φ, то получится выражение такого же рода; так что общий результат выглядит так:

(3.32)

Теперь заметьте, что правая часть (3.32) на самом деле «проще» левой части. Прибор А полностью описан девятью числами <j|А|i>, сообщающими, каков отклик А на три базисных состояния прибора Т. Как только мы узнаем эту девятку чисел, мы сможем управиться с любой парой входных и выходных состояний φ и χ, если только определим каждое из них через три амплитуды перехода в каждое из трех базисных состояний (или выхода из них). Результат опыта предсказывается с помощью уравнения (3.32).

В этом и состоит основной вывод квантовой механики частицы со спином 1. Каждое состояние описывается тройкой чисел — амплитудами пребывания в каждом из базисных состояний (из избранной их совокупности). Всякий прибор описывается девяткой чисел — амплитудами перехода в приборе из одного базисного состояния в другое. Зная эти числа, можно подсчитать что угодно.