Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ КРИВЫЕ И КРИПТОГРАФИЯ

Существуют математические операции, для которых очень сложно произвести обратные операции, например, поиск простых множителей для очень больших целых чисел. В алгоритме RSA, одном из основных алгоритмов современной криптографии, это действие используется для создания ключей, которые практически невозможно взломать. Другая операция, которая считается «необратимой», — нахождение дискретного логарифма для эллиптической кривой. В 2009 году правительство США начало применять определенные алгоритмы шифрования, в которых используется это свойство, для передачи сверхсекретной информации.

* * *

Вернемся к эллиптическим уравнениям. Какие решения может иметь одно из таких уравнений, например, по модулю 2? Их может быть не более 4, а именно:

х = 0, у = 0,

х = 0, у = 1,

х = 1, у = 0,

х = 1, у = 1.

С помощью такого мощного инструмента, как модулярная арифметика, можно говорить не только об «абсолютных» решениях кубических уравнений, которые сложно обнаружить, но и о числе решений по каждому модулю. Так, любое эллиптическое уравнение определяется бесконечным E-рядом, где значением каждого элемента E₁, Е₂, Е₃… является число решений этого уравнения по модулю 1, 2, 3 и так далее. Для уравнения, имеющего два решения по модулю 2, например (0; 0) и (1; 0), член этого ряда Е₂ = 2.

Второй мир: модулярные функции

Модулярные формы в значительной степени являются творением Анри Пуанкаре, одного из самых выдающихся ученых всех времен, просветителя и философа науки. Так, некоторые его работы по математической физике непосредственно предшествовали теории относительности Эйнштейна. Пуанкаре был последним математиком, который обладал глубокими знаниями во всех разделах математики своего времени.

Сейчас это невозможно, так как современная математика охватывает слишком большое количество областей. Пуанкаре, который уже в юном возрасте стал известным математиком, обладал, подобно Эйлеру и Гауссу, фотографической и великолепной пространственной памятью. Возможно, это объясняет его успехи в созданной им дисциплине, топологии, которая изучает пространственные свойства объектов, остающиеся неизменными при определенных преобразованиях. Топология — царство, где правит симметрия, и очень немногие математические объекты обладают столь обширной симметрией, как модулярные формы.

Французская марка, посвященная Жюлю Анри Пуанкаре.

* * *