Том 9. Загадка Ферма. Трехвековой вызов математике

В знаменитом докладе на конференции в 1900 году, посвященном положению дел в математике начала XX века, немецкий математик Давид Гильберт писал: «Кто из нас не хотел бы приоткрыть завесу, за которой скрыто наше будущее, чтобы хоть одним взглядом проникнуть в предстоящие успехи нашего знания и тайны его развития в ближайшие столетия?» Говоря о теореме Ферма, он добавил: «Проблема доказательства этой неразрешимости являет собой яркий пример того, какое побуждающее влияние на науку может оказать специальная и на первый взгляд малозначительная задача. Ибо, побужденный задачей Ферма, Куммер пришел к введению идеальных чисел и к открытию теоремы об однозначном разложении чисел в круговых полях на идеальные простые множители — теоремы, которая теперь… является центральной в современной теории чисел и значение которой выходит далеко за пределы теории чисел в область алгебры и теории функций».

Гильберт прочел свой доклад за много лет до того, как появились работы Морделла, Таниямы — Симуры и Фрая. Разумеется, он не мог даже представить, каким образом Уайлсу удастся найти доказательство. Кто мог предположить, что эти работы помогут совершить небывалый прорыв в математике? Танияма и Симура установили удивительную связь между эллиптическими кривыми и модулярными формами. Кто знает, между какими разделами математики, которые сейчас кажутся совершенно независимыми, в будущем будет найдена неожиданная взаимосвязь?

Тем не менее, не отрицая всю важность доказательства последней теоремы Ферма, стоит отметить, что оно намного важнее как своеобразный катализатор будущих исследований. В течение многих веков задача Ферма возвышалась, словно неприступная цитадель, и копья математиков разбивались о ее стены. Уверенность Уайлса в том, что он практически в одиночку сможет решить задачу такого масштаба, несомненно, вдохновит других посвятить себя решению других открытых задач, которые сейчас представляются нерешаемыми.

Что говорит по этому поводу сам Уайлс? Из-за его природной скромности не стоит ожидать от него каких-то громких фраз. Однако эту книгу можно закончить только его словами, которые он произнес, когда было окончательно утверждено его второе доказательство и сбылась мечта всей его жизни:

«Мне выпало счастье осуществить в моей взрослой жизни то, что было мечтой моего детства. Я знаю, что это редкая удача, но если в зрелом возрасте вам представляется возможность заниматься чем-то таким, что значит для вас так много, то это занятие служит для вас наградой более высокой, чем что-либо еще. Доказав великую теорему Ферма, я не мог не ощутить потери, но в то же время меня охватило чувство бескрайней свободы. На протяжении восьми лет я был настолько поглощен ее доказательством, что не мог думать ни о чем другом. Я думал о теореме Ферма все время — с утра до ночи. Для размышлений об одном и том же — срок очень долгий. Теперь эта одиссея подошла к концу. Мой разум обрел покой».

Приложение Фигурные числа

Фигурное число — это число, которое может быть представлено в виде точек, расположенных в форме правильного многоугольника. Эти числа долгое время служили объектом пристального внимания математиков. Греки приписывали им магические свойства, связанные с их особой формой, а Диофант посвятил им отдельный труд.

Треугольное число можно представить в виде равностороннего треугольника:

Получим последовательность 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91,105…

Общая формула приведена справа от иллюстрации.

Квадратные числа можно представить в форме квадратов:

Получим последовательность 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225… Общая формула — n².

Пятиугольные числа можно представить в виде пятиугольников:

Получим последовательность 1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330… Общая формула приведена на рисунке.

Аналогично можно получить шестиугольные, семиугольные числа и так далее.

Ферма первым понял, что любое натуральное число можно представить как сумму максимум трех треугольных, четырех квадратных, пяти пятиугольных чисел и так далее. Данные, представленные в следующей таблице, позволяют убедиться, что это соотношение выполняется для треугольных и пятиугольных чисел.

Библиография

ACZEL, A.D., Elúltimo teorema de Fermat, México, Fondo de Cultura Económica, 2004.