Трактат о принципах человеческого знания

124. Каждое отдельное конечное протяжение, которое может служить предметом нашего мышления, есть идея, существующая лишь в нашем уме, и, следовательно, любая его часть должна быть воспринимаема. Если поэтому я не могу воспринять бесконечное множество частей в каком-либо конечном, рассматриваемом мной, протяжении, то несомненно, что они в нем не содержатся; но очевидно, что я не в состоянии различить бесчисленное множество частей в отдельной линии, поверхности или теле, воспринимаю ли я их в ощущении или представляю себе в моем уме, из чего заключаю, что они не содержатся там. Ничто не может быть для меня яснее того, что рассматриваемые протяжения суть не что иное, как мои собственные идеи; и не менее ясно, что я не могу разложить какую-либо из своих идей на бесконечное число других идей, т.е. что они не делимы до бесконечности. Если под конечным протяжением подразумевается нечто отличное от конечной идеи, то я объявляю, что не знаю, что это такое, и, следовательно, не могу ни утверждать, ни отрицать чего-либо о нем. Но если термины «протяжение», «части» и т.п. берутся в понятном смысле, т.е. в смысле идей, то сказать, что конечная величина или конечное протяжение состоит из частей бесконечных по числу, есть столь явное и вопиющее противоречие, что каждый с первого взгляда признает его за таковое; и невозможно, чтобы с этим мнением когда-либо согласилось какое-нибудь разумное существо, если только оно не будет подготовлено к нему постепенными незначительными переходами, как новообращенный язычник к вере в пресуществление. Старые и закоренелые предрассудки часто приобретают значение принципов, а такие положения, которые раз приобрели силу и значение принципов, не только сами, но вместе с ними и все то, что может быть из них выведено, считаются изъятыми из исследования. И нет такой бессмыслицы, которая не могла бы быть принята, если ум таким образом к ней подготовлен.

125. Тот, чей ум находится под господством учения об абстрактных общих идеях, легко может быть убежден в том, что (как бы ни мыслить об идеях ощущений) абстрактное протяжение делимо до бесконечности. И всякий, кто полагает, что ощущаемые предметы существуют вне духа, не затруднится утверждать, что линия длиной всего в дюйм может заключать в себе бесчисленное множество частей, которые действительно существуют, хотя слишком малы, чтобы быть различаемы. Эти заблуждения укоренились в умах как геометров, так и прочих людей и оказывают одинаковое влияние на их рассуждения; и было бы нетрудно показать, как доказательства, употребляемые геометрией в подтверждение бесконечной делимости протяжения, основываются на этих заблуждениях. Но об этом, если то окажется необходимым, мы можем найти удобный случай поговорить особо. Теперь мы только в целом укажем, почему все математики так преисполнены этим учением и упорны в нем.

§126-156

126. Было замечено в другом месте (§15 Введ[ения]), что теоремы и доказательства геометрии касаются общих идей, причем было объяснено, в каком смысле это следует понимать, а именно в том, что отдельные линии и фигуры в чертеже предполагаются заменяющими бесчисленное множество других линий и фигур различной величины, или, иными словами, геометр рассматривает их, отвлекая от них величины, что подразумевает не то, что он образовал абстрактную идею, а только то, что он не заботится о величине, в частности велика ли она или мала, но считает это безразличным для доказательства. Отсюда следует, что о линии, имеющей на чертеже всего один дюйм длины, надо говорить так, как будто она содержит девять тысяч частей, поскольку она рассматривается не сама по себе, но как общая; но она обща лишь по значению, поскольку она собой представляет бесчисленные линии, большие, чем она, в которых можно различить десять тысяч и более частей, хотя они могут быть не длиннее дюйма. Таким путем свойства обозначенных линий по весьма обычному приему переносятся на знак и потому по заблуждению как бы мыслятся принадлежащими ему в силу его собственной природы.