Трактат о принципах человеческого знания (ЛП)

15. Я не думаю также, чтобы абстрактные идеи были более нужны для расширения познания, чем для его сообщения. Сколько мне известно, особенно настаивают на том пункте, что всякое познание и доказательство совершается над общими понятиями, с чем я совершенно согласен; но при этом мне кажется, что такие понятия образуются не через абстрагирование вышеуказанным способом; общность состоит, насколько я понимаю, не в безусловной положительной природе или понятии чего-нибудь, а в отношении, которое она вносит в обозначаемые или представляемые ею частности, вследствие чего вещи, названия или понятия, будучи частными по своей собственной природе, становятся общими. Так, когда я доказываю какое-нибудь предложение, касающееся треугольников, то предполагается, что я имею в виду общую идею треугольника, что должно быть понимаемо не так, чтобы я мог образовать идею треугольника, который не будет ни равносторонним, ни неравносторонним, ни равнобедренным, но только так, что частный треугольник, который рассматривается мной, безразлично, будет ли он того или иного рода, одинаково заменяет или представляет собой все прямолинейные треугольники всякого рода и в этом смысле общ. Все это кажется очень ясным и не заключает в себе никакого затруднения.

16. Но тут возникает вопрос, каким образом мы можем знать, что данное предложение истинно о всех частных треугольниках, если мы не усмотрели его сначала доказанным относительно абстрактной идеи треугольника, одинаково относящейся ко всем треугольникам. Ибо из того, что была указана принадлежность некоторого свойства такому-то частному треугольнику, вовсе не следует, что оно в равной мере принадлежит всякому другому треугольнику, который не во всех отношениях тождествен с первым. Если я доказал, например, что три угла равнобедренного прямоугольного треугольника равны двум прямым углам, то я не могу отсюда заключить, что то же самое будет справедливо о всех прочих треугольниках, не имеющих ни прямого угла, ни двух равных сторон. Отсюда, по-видимому, следует, что для того, чтобы быть уверенными в общей истинности этого предложения, мы должны либо приводить отдельное доказательство для каждого частного треугольника, что невозможно, либо раз навсегда доказать его для общей идеи треугольника, которой сопричастны безразлично все частные треугольники и которая их все одинаково представляет. На это я отвечу, что, хотя идея, которую я имею в виду в то время, как произвожу доказательство, есть, например, идея равнобедренного прямоугольного треугольника, стороны которого имеют определенную длину, я могу тем не менее быть уверенным в том, что оно распространяется на все прочие прямолинейные треугольники, какой бы формы или величины они ни были, и именно потому, что ни прямой угол, пи равенство или определенная длина двух сторон не принимались вовсе в соображение при доказательстве. Правда, что диаграмма, которую я имею в виду, обладает всеми этими особенностями, но о них совсем не упоминалось при доказательстве теоремы. Не было сказано, что три угла потому равны двум прямым, что один из них прямой, или потому, что стороны, его заключающие, равной длины, чем достаточно доказывается, что прямой угол мог бы быть и косым, а стороны неравными, и тем не менее доказательство оставалось бы справедливым. Именно на этом основании я заключаю, что доказанное о данном прямоугольном равнобедренном треугольнике справедливо о каждом косоугольном и неравностороннем треугольнике, а не то, что доказательство относится к абстрактной идее треугольника. И здесь следует признать, что человек может рассматривать фигуру просто как треугольную, не обращая внимания на определенные свойства углов или отношения сторон. До этих пор он может абстрагировать; но это никогда не сможет послужить доказательством того, что он способен образовать противоречивую абстрактно-общую идею треугольника. Сходным образом мы можем рассматривать Питера [просто] как человека или как животное, не образуя вышеупомянутой абстрактной идеи человека или животного, когда не принимается во внимание то, что воспринимается[4].