Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Малые колебания тела около положения равновесия обычно аналогичны колебаниям точки, на которую действует сила, меняющаяся пропорционально расстоянию от некоторой фиксированной точки. В наших опытах в случае колеблющихся тел имеется также сопротивление движению, обусловленное рядом причин, таких как вязкость воздуха и вязкость нити подвеса. Во многих электрических приборах имеется другой источник сопротивления, а именно обратное воздействие токов, индуцируемых в проводящих контурах, расположенных вблизи колеблющихся магнитов. Эти токи индуцируются движением магнита и их действие на магнит в соответствии с правилом Ленца состоит в постоянном противодействии его движению. Во многих случаях это составляет основную часть сопротивления.

Иногда около магнита с явно выраженной целью уменьшения или полного прекращения его колебаний помещается металлический контур, называемый Демпфером. Поэтому о сопротивлении такого рода мы будем говорить как о Демпфирующем.

В случае медленных колебаний, таких, которые легко наблюдать, полное сопротивление, какими бы причинами оно ни было обусловлено, оказывается прямо пропорциональным скорости. И только когда скорость гораздо больше, чем при обычных колебаниях в электромагнитных приборах, появляются свидетельства в пользу того, что сопротивление пропорционально квадрату скорости.

Таким образом, мы должны исследовать движение тела под действием притяжения, меняющегося пропорционально расстоянию, и сопротивления, меняющегося пропорционально скорости.

731. Нижеследующее применение принципа Годографа, данное профессором Тэтом ¹ позволяет нам очень простым способом исследовать движение такого рода при помощи равноугловой спирали.

¹Proc. R. S. Edin., Dec. 16, 1867.

Пусть требуется найти ускорение частицы, которая описывает логарифмическую или равноугловую спираль, двигаясь с постоянной угловой скоростью вокруг полюса.

Эта спираль обладает тем свойством, что касательная PT образует постоянный угол с радиус-вектором PS [рис. 57].

Рис. 57

Если скорость в точке P равна v, то

v·sin

=

·SP

Следовательно, если мы проведём отрезок SP', параллельный PT и равный SP, то скорость в точке P и по величине, и по направлению будет задана выражением

v

=

sin

SP'

Таким образом, точка P' будет точкой на годографе. Но SP' есть отрезок SP, повёрнутый на постоянный угол -, так что годограф, описываемый точкой P', совпадает с исходной спиралью, повёрнутой вокруг полюса на угол -.

Ускорение точки P по величине и по направлению представлено скоростью точки P', умноженной на тот же самый фактор /sin .

Следовательно, если мы произведём над отрезком SP' ту же самую операцию поворота на угол - в новое положение SP'', то ускорение точки P по величине и направлению будет равно

^2

sin^2

SP''

,

где SP'' есть отрезок SP, повёрнутый на угол 2-2.

Проведя отрезок PF, равный и параллельный SP'', мы можем ускорение

^2

sin^2

PF

,

разложить на

^2

sin^2

PS

и

^2

sin^2

PK

.

Первая из этих составляющих есть ускорение, направленное к центру S и пропорциональное расстоянию.

Вторая составляющая направлена против скорости, и, поскольку

PK

=

2cos

P'S

=-

sin cos

v

,

это ускорение можно записать так:

-2

cos

sin

v

.

Ускорение частицы состоит, таким образом, из двух частей, первая из которых обусловлена силой притяжения r, направленной к S и пропорциональной расстоянию, а вторая, равная -2kv, является сопротивлением движению, пропорциональным скорости, где

=

sin^2

,

k

=

cos

sin

.

Если мы положим в этих выражениях =/2, орбита становится круговой, и мы имеем =^2, k=0.

Следовательно, если сила на единичном расстоянии остаётся той же самой, то = и =sin , т.е. угловая скорость на различных спиралях при одном и том же законе притяжения пропорциональна синусу угла спирали.

732. Если мы рассмотрим теперь движение точки, являющейся проекцией движущейся точки P на горизонтальную линию XY, то увидим, что её расстояние от S и её скорость являются горизонтальными составляющими соответствующих величин для P. Следовательно, ускорение этой точки также состоит из притяжения, направленного к S и равного расстоянию от S, взятому раз, и торможения, равного скорости, умноженной на 2k.

Мы имеем, таким образом, завершённую конструкцию для описания прямолинейного движения точки, происходящего под действием притяжения, пропорционального расстоянию от некоторой фиксированной точки, и сопротивления, пропорционального скорости. Движение такой точки является горизонтальной проекцией движения другой точки, которая движется с постоянной угловой скоростью вдоль логарифмической спирали.

733. Уравнение спирали r=Ce^{- ctg} .

Чтобы определить горизонтальное движение, положим =t, x=a+rsin , где a - значение x для точки равновесия.

Если мы проведём отрезок BSD, образующий с вертикалью угол , то касательные BX, DY, GZ, … будут вертикальными, а точки X, Y, Z, … окажутся крайними точками последовательных осцилляций.

734. При наблюдении колеблющихся тел отмечаются:

(1). Показания шкалы в стационарных точках. Они называются элонгациями.