Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Обозначим через 𝑃₀ значение 𝑃 при 𝑥=0 и 𝑦=0, тогда, разлагая 𝑃 по теореме Тейлора, получим

𝑃

=

𝑃₀

+

𝑥

𝑑𝑃₀

𝑑𝑥

+

𝑦

𝑑𝑃₀

𝑑𝑦

+

1

2

𝑥²

𝑑²𝑃₀

𝑑𝑥²

+…

.

Проинтегрировав это выражение в прежних пределах и разделив результат на 𝑥𝑦, мы получим для 𝑃:

𝑃

=

𝑃₀

+

1

24

⎛

⎜

⎝

𝑥²

𝑑²𝑃₀

𝑑𝑥²

+

𝑦²

𝑑²𝑃₀

𝑑𝑦²

⎞

⎟

⎠

+

+

1

1920

⎛

⎜

⎝

𝑥⁴

𝑑⁴𝑃₀

𝑑𝑥⁴

+

𝑦⁴

𝑑⁴𝑃₀

𝑑𝑦⁴

⎞

⎟

⎠

+

1

576

𝑥²𝑦

𝑑⁴𝑃₀

𝑑𝑥²𝑑𝑦²

+…

.

Рассмотрим катушку, у которой внешний и внутренний радиусы соответственно равны 𝐴+ξ/2 и 𝐴-ξ/2, а расстояние плоскостей намотки до начала координат лежит в пределах от 𝐵+η/2 до 𝐵-η/2. В этом случае ширина катушки равна η, её глубина - ξ; пусть эти величины малы по сравнению с 𝐴 или 𝐶.

Для того чтобы подсчитать магнитное действие данной катушки, мы можем выписать последовательные члены рядов (6) и (6') п. 695 в следующем виде:

𝐺₀

=

π

𝐵

𝐶

⎧

⎨

⎩

1+

1

24

2𝐴²-𝐵²

𝐶⁴

ξ²

-

1

8

𝐴²

𝐶⁴

η²

+…

⎫

⎬

⎭

,

𝐺₁

=

2π

𝐴²

𝐶³

⎧

⎨

⎩

1+

1

24

⎛

⎜

⎝

2

𝐴²

-15

𝐵²

𝐶⁴

⎞

⎟

⎠

ξ

+

1

8

4𝐵²-𝐴²

𝐶⁴

η²

+…

⎫

⎬

⎭

,

𝐺₂

=

3π

𝐴²𝐵

𝐶⁵

⎧

⎨

⎩

1+

1

24

⎛

⎜

⎝

1

𝐴²

-

25

𝐶²

+

35𝐴²

𝐶⁴

⎞

⎟

⎠

ξ²

+

+

5

24

4𝐵²-𝐴²

𝐶⁴

η²

+…

⎫

⎬

⎭

,

𝐺₃

=

4π

𝐴²(𝐵²-¼𝐴²)

𝐶⁷

+

+

π

24

ξ²

𝐶¹¹

{

𝐶⁴(8𝐵²-12𝐴²)

+

35𝐴²𝐵²(5𝐴²-𝐵²)

}+

+

5

8

πη²

𝐶¹¹

𝐴²{𝐴⁴-12𝐴²𝐵²+𝐵⁴}

,

…

, … ,

𝑔₁

=

π𝑎²

+

1

12

πξ²

,

𝑔₂

=

2π𝑎²𝑏

+

1

6

π𝑏ξ²

,

𝑔₃

=

3π𝑎²

(𝑏²-¼𝑎²)

+

π

8

ξ²(2𝑏²-3𝑎²)

+

π

4

η²

𝑎²

,

…

,

… .

Величины 𝐺₀, 𝐺₁, 𝐺₂, … относятся к большой катушке. Значение ω для точек, где 𝑟 меньше 𝐶, равно

ω

=-

2π

+

2𝐺₀

-

𝐺₁𝑟𝑃₁(θ)

-

𝐺₂𝑟²𝑃₂(θ)

-

… .

Величины 𝑔₁, 𝑔₂, … относятся к малой катушке. Значения ω' в точках, где 𝑟 больше 𝐶, равны

ω'

=

𝑔₁

1

𝑟²

𝑃₁(θ)

+

𝑔₂

1

𝑟³

𝑃₂(θ)

+

… .

Потенциал одной из этих катушек по отношению к другой в том случае, когда общий ток, протекающий через сечение каждой катушки, равен единице, следующий

𝑀

=

𝐺₁𝑔₁𝑃₁(θ)

+

𝐺₂𝑔₂𝑃₂(θ)

+

… .

Как найти 𝑀 через эллиптические интегралы

701. Когда расстояние между периметрами двух кругов соизмеримо с радиусом меньшего из них, приведённые здесь ряды не сходятся достаточно быстро. В любом случае, однако, мы можем найти выражение 𝑀 для двух параллельных окружностей через эллиптические интегралы.

Действительно, пусть 𝑏 - длина линии, соединяющей центры окружностей, пусть эта линия перпендикулярна плоскостям обеих окружностей и пусть 𝐴 и 𝑎 - радиусы окружностей; тогда

𝑀

=

∬

cos ε

𝑟

𝑑𝑠

𝑑𝑠'

,

где интегрирование проводится по обеим замкнутым кривым.

В этом случае

𝑟²

=

𝐴²

+

𝑎²

+

𝑏²

-

2𝐴𝑎

cos(φ-φ')

,

ε

=

φ-φ'

,

𝑑𝑠

=

𝑎

𝑑φ

,

𝑑𝑠'

=

𝐴

𝑑φ'

,

𝑀

=

2π

∫

0

2π

∫

0

𝐴𝑎 cos(φ-φ')𝑑φ𝑑φ'

√𝐴²+𝑎²+𝑏²-2𝐴𝑎 cos(φ-φ')

=

=

-4π

√

𝐴𝑎

⎧

⎨

⎩

⎛

⎜

⎝

𝑐

-

2

𝑐

⎞

⎟

⎠

𝐹

+

2

𝑐

𝐸

⎫

⎬

⎭

,

где

𝑐

=

2√𝐴𝑎

√(𝐴+𝑎)²+𝑏²

,

а 𝐹 и 𝐸 - полные эллиптические интегралы модуля 𝑐.

Отсюда, помня, что

𝑑𝐹

𝑑𝑐

=

1

𝑐(1-𝑐²)

{𝐸-(1-𝑐²)𝐹}

,

𝑑𝐸

𝑑𝑐

=

1

𝑐

(𝐸-𝐹)

,

и что 𝑐 есть функция 𝑏, мы находим

𝑑𝑀

𝑑𝑏

=

π

√𝐴𝑎

𝑏𝑐

1-𝑐²

{

(2-𝑐²)𝐸

-

2(1-𝑐²)𝐹

}.

Если обозначить через 𝑟₁ и 𝑟₂ наибольшее и наименьшее значения 𝑟, т.е.

𝑟₁²=(𝐴+𝑎)²+𝑏²

,

𝑟₂²=(𝐴-𝑎)²+𝑏²

,

и через γ - угол, у которого cos γ=𝑟₂/𝑟₁, то

𝑑𝑀

𝑑𝑏

=

-π

𝑏 sin γ

√𝐴𝑎

{

2𝐹

_γ

-

(1+sec²γ)𝐸

_γ

},

где 𝐹_γ и 𝐸_γ - полные эллиптические интегралы первого и второго рода, модули которых равны sin γ.

Если 𝐴=𝑎, то ctg γ=𝑏/(2𝑎) и

𝑑𝑀

𝑑𝑏

=

-2π

cos γ

{

2𝐹

_γ

-

(1+sec²γ)𝐸

_γ

}.

Величина -𝑑𝑀/𝑑𝑏 характеризует притяжение двух параллельных круговых контуров, в каждом из которых сила тока равна единице.

Ввиду важности величины 𝑀 для электромагнитных вычислений значения ln (𝑀/4π√𝐴𝑎), являющегося функцией 𝑏 и, следовательно, только γ, протабулированы в интервале углов γ от 60 до 90 градусов через 6'.

Второе выражение для 𝑀

Другое выражение для 𝑀, иногда более удобное, получается, если положить 𝑐₁=(𝑟₁-𝑟₂)/(𝑟₁+𝑟₂); в этом случае

𝑀

=

8π

√

𝐴𝑎

1

√𝑐₁

{

𝐹(𝑐₁)

+

𝐸(𝑐₁)

}.

Как проводить линии магнитной силы для кругового тока

702. Линии магнитной силы лежат, очевидно, в плоскостях, проходящих: через ось окружности; вдоль каждой из этих линий величина 𝑀 постоянна.

Вычислим величину

𝐾

_θ

=

sin θ

(𝐹_{sin θ}-𝐸_{sin θ})²

из таблицы Лежандра для достаточно большого числа значений θ.

Нанесём на листе бумаги оси прямоугольной системы координат 𝑥 и 𝑧; построим окружность с центром в точке 𝑥=(𝑎/2)(sin θ+cosec θ) с радиусом (𝑎/2)(sin θ-cosec θ). Для всех точек этой окружности величина 𝑐₁ будет равна, sin θ. Следовательно, для всех точек этой окружности

𝑀

=

8π

√

𝐴𝑎

1

√𝐾_θ

,

𝐴

=

1

64π²

𝑀²𝐾_θ

𝑎

.

Теперь 𝐴 является тем значением 𝑥, для которого была найдена величина 𝑀. Таким образом, если мы проведём линию, на которой 𝑥=𝐴, она пересечёт окружность в двух точках, имеющих заданное значение 𝑀.

Задавая последовательно значения величины 𝑀, меняющиеся по закону арифметической прогрессии, для 𝐴 получим последовательность квадратов. Поэтому рисуя, семейство линий, параллельных 𝑧, на которых 𝑥 принимает найденные значения 𝐴, мы получим, что точки, в которых эти линии пересекаются с окружностью, будут именно теми точками, в которых эту окружность пересекают соответствующие линии силы.

Если положить 𝑚=8π𝑎 и 𝑀=𝑛𝑚, то 𝐴=𝑥=𝑛²𝐾_θ𝑎.. Величину 𝑛 мы можем назвать индексом линии силы.

Вид этих линий показан на рис. XVIII в конце тома. Они воспроизведены с рисунков, данных сэром У. Томсоном в его статье о «Вихревом движении» ².

²Trans. R. S. Edin., vol XXV, p. 217 (1869).