Трактат об электричестве и магнетизме. Том 2.

Следующий шаг должен был состоять в развитии аппарата векторной алгебры и анализа. Аппарат в том виде, в котором мы владеем им сейчас, как известно, был отработан чуть позже, но можно сказать, что это произошло в основном по заказу теории электромагнитного поля ⁷. Не следует, однако, принижать и прямой максвелловский вклад: Максвеллу принадлежит понимание адекватности векторного анализа, не говоря уже об инициативе его использования. Бытует мнение, что будто бы он предпочитал работать только с декартовыми компонентами векторов. Действительно, при решении многих конкретных задач (да ещё при извлечении преимуществ от разделения переменных) он широко пользовался записью уравнений через проекции (не обязательно декартовы, разумеется). Но он не пропускал почти ни одной возможности - по крайней мере в «Трактате» - написания общих уравнений в инвариантном векторном представлении. Правда, максвелловские обозначения не совсем привычны нашему глазу. Следуя Гамильтону и Тэту (а в те времена больше и некому было следовать), он стал работать со скалярами и векторами как с компонентами кватернионов.

⁷ Описание послетрактатиой истории максвелловской электродинамики в той её части, которая свизаиа с именем Хевисайда, приведено в книге Б. М. Болотовского [9], к которой мы отсылаем читателя.

Напомним, что кватернионом называется объект, состоящий из четырёх компонент: одного действительного скаляра и трёх мнимых составляющих вектора, причём каждой декартовой координате приписывается своя мнимая единица. Таким образом, вместо одной обычной мнимой единицы 𝑖, характеризуемой свойством 𝑖²=-1, вводится три 𝑖, 𝑗, 𝑘 (𝑖²=𝑗²=𝑘²=-1), их различие между собой определяется попарной некоммутируемостью, а именно 𝑖𝑗=𝑘=-𝑗𝑖, 𝑗𝑘=𝑖=-𝑘𝑗, 𝑖𝑘=-𝑗=-𝑘𝑖 [11].

Сейчас мы понимаем, что привлечение кватернионов удобно упрощает вычисления, связанный с некоммутирующими величинами, например, при трёхмерных вращениях, теория которых была заложена ещё Эйлером. Но в максвелловские времена люди не обращали внимания на такие тонкости, и кватернионика Гамильтона считалась нечто вроде символа обособления гордой ирландской самобытности. А Максвелл принял её в качестве рабочего инструмента и приспособил обслуживать фарадеевские поля, ибо кватернионика позволяла установить правила не только сложения, но и умножения векторов, а следовательно, открывала путь к построению векторного дифференциального исчисления. Действительно, если рассматривать векторное поле 𝐀 (𝐴_α, α=1, 2, 3 - индексы соответствуют номерам координатных осей) как векторную часть кватерниона 𝔄 (следуя Максвеллу, снабжаем кватернионы готическими обозначениями), то произведение двух чисто векторных кватернионов (их иногда называют ассоциированными) 𝔄⋅𝔅, выполненное с учётом правил коммутации 𝑖, 𝑗, 𝑘, будет содержать векторную часть (Максвелл обозначает её 𝑉⋅𝔄𝔅) и скалярную часть (𝑆⋅𝔄𝔅), и ничего более. Судя по воспоминаниям [10], Гамильтон очень гордился этим результатом и имел к тому основания.

В современном представлении через действительные проекции произведение векторов 𝐴_α и 𝐵_β в общемм случае выглядит как симметричный диадный тензор 𝐴_α𝐵_β. По известной теореме приведения он может быть разложен на три «элементарных» (неприводимых) группы: группу скаляров 𝐴_α𝐵_α (по дважды встречающимся индексам производится суммирование

⁔

α,α

≡

3

∑

α=1

),

группу векторов (псевдовекторов) 𝑒_αβγ𝐴𝐵_βγ (𝑒_αβγ - единичный антисимметричный тензор) и группу симметричных тензоров с нулевым следом

⎛

⎜

⎝

𝐴

_α

𝐵

_β

+

𝐴

_β

𝐵

_α

-

1

3

δ

_αβ

𝐴

_α

𝐵

_β

⎞

⎟

⎠

;

δ_αβ - единичный симметричный тензор; последняя группа повышает ранг описания векторных полей и потому «не задействована» в формулировке скалярных и векторных уравнений электродинамики (во всяком случае применительно к неэкзотическим ситуациям). Кватернионная операция умножения векторов производит это отметание тензоров второго ранга автоматически.

Этими несколько подробными сопоставлениями векторных действительных и векторных кватернионных манипуляций мы, с одной стороны, дополняем информацию п. 2 об обозначениях «Трактата», а с другой - хотим отметить высокое качество принятой в нём терминологии, в определённом смысле более адекватной существу дела, чем наша. В самом деле, скалярная часть произведения векторов

𝑆⋅𝔄𝔅

→

𝐀𝐁

=

𝐴

_α

𝐵

_β

и векторная часть произведения векторов

𝑉⋅𝔄𝔅

⇒

𝐀×𝐁

→

𝑒

_αβγ

𝐴

_β

𝐵

_γ

лингвистически последовательнее отражают существо теоремы приведения, чем наши в общем-то жаргонные обороты «скалярное и векторное произведения».

Конечно, сейчас большинство из нас является приверженцами описания скалярных и векторных полей в действительных переменных, считая его нагляднее кватернионного. Но ведь наглядность - свойство человеческое - прививаемое и воспитываемое. А по строгости оба подхода равноправны.

Далее Максвелл, тоже вслед за Гамильтоном, вводит оператор дифференцирования

∇

=

𝑖

∂

∂𝑥₁

+

𝑗

∂

∂𝑥₂

+

𝑘

∂

∂𝑥₃

.