Трактат об электричестве и магнетизме

Предположим теперь, что кривые постоянных α образуют семейство замкнутых кривых, окружающих некоторую точку на поверхности, в которой α принимает своё минимальное значение, равное α₀; пусть последняя кривая этого семейства, для которой α=α₁ совпадает с замкнутой кривой 𝑠.

Предположим также, что кривые постоянных β образуют семейство линий, проведённых от точки, где α=α₀, до замкнутой кривой 𝑠, причём первая линия, соответствующая значению β₀, совпадает с последней линией β₁.

При интегрировании (8) по частям (первый член интегрируется по α, а второй - по β) двойные интегралы взаимно уничтожаются и выражение принимает вид

β₁

∫

β₀

⎛

⎜

⎝

𝑋

𝑑𝑥

𝑑β

⎞

⎟

⎠α=α₁

𝑑β

-

β

∫

β₀

⎛

⎜

⎝

𝑋

𝑑𝑥

𝑑β

⎞

⎟

⎠α=α₀

𝑑β

-

-

α₁

∫

α₀

⎛

⎜

⎝

𝑋

𝑑𝑥

𝑑α

⎞

⎟

⎠β=β₁

𝑑α

+

α₁

∫

α₀

⎛

⎜

⎝

𝑋

𝑑𝑥

𝑑α

⎞

⎟

⎠β=β₀

𝑑α

.

(9)

Так как точка (α, β₁) совпадает с точкой (α, β₀), то третий и четвёртый члены уничтожают друг друга, и поскольку в точке, где α=α₀ существует только одно значение 𝑥 то второй член обращается в нуль и выражение сводится к первому члену.

Так как кривая α=α₁ совпадает с замкнутой кривой 𝑠, мы можем написать это выражение в виде

∫

𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑠

𝑑𝑠

,

(10)

где интегрирование выполняется вдоль кривой 𝑠. Аналогично можно поступить и с теми частями поверхностного интеграла, которые зависят от 𝑌 и 𝑍, так что окончательно получаем

∬

(

𝑙ξ

+

𝑚η

+

𝑛ζ

)

𝑑𝑆

=

∫

⎛

⎜

⎝

𝑋

𝑑𝑥

𝑑𝑠

+

𝑌

𝑑𝑦

𝑑𝑠

+

𝑍

𝑑𝑧

𝑑𝑠

⎞

⎟

⎠

𝑑𝑠

(11)

где первый интеграл распространён на поверхности 𝑆, а второй берётся вдоль ограничивающей её кривой 𝑠. ¹¹

¹¹ Эта теорема была дана профессором Стоксом (Smith’s Prize Examination, 1854, question 8). Она доказана в книге Томсона и Тэта Natural Philosophy, § 190 (II).

О действии оператора ∇ на векторную функцию

25. Мы видели, что оператор, обозначенный как ∇, - это такой оператор, при помощи которого векторная величина вычисляется из её потенциала. Тот же самый оператор, однако, применённый к векторной функции, даёт результаты, входящие в две только что доказанные нами теоремы (III и IV). Профессору Тэту ¹² мы обязаны обобщением этого оператора применительно к векторным смещениям, а также большей части последующих усовершенствований.

¹² См. Proc. R. S. Edin., April 28, 1862. «On Green’s and other allied Theorems», Trans. R. S. Edin., 1869-70 - очень ценная статья, и «On some Quaternion Integrals», Proc. R. S. Edin., 1870-71.

Пусть σ будет векторной функцией вектора переменной точки ρ. Как обычно, предположим, что

ρ=

𝑖𝑥

+

𝑗𝑦

+

𝑘𝑧

 и

σ=

𝑖𝑋

+

𝑗𝑌

+

𝑘𝑍

,

где 𝑋, 𝑌, 𝑍 - составляющие σ в направлениях осей.

Мы должны совершить над σ операцию

∇=

𝑖

𝑑

𝑑𝑥

+

𝑗

𝑑

𝑑𝑦

+

𝑘

𝑑

𝑑𝑧

.

Выполняя эту операцию и помня правило перемножения 𝑖, 𝑗, 𝑘 мы находим, что ∇σ состоит из двух частей: одной - скалярной и другой - векторной.

Скалярная часть

𝑆∇σ

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑥

+

𝑑𝑌

𝑑𝑦

+

𝑑𝑍

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

,

(см.Теорему III)

а векторная часть

𝑉∇σ

=

𝑖

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑍

𝑑𝑦

-

𝑑𝑌

𝑑𝑧

⎞

⎟

⎠

+𝑗

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑋

𝑑𝑧

-

𝑑𝑍

𝑑𝑥

⎞

⎟

⎠

+𝑘

⎛

⎜

⎝

𝑑𝑌

𝑑𝑥

-

𝑑𝑋

𝑑𝑦

⎞

⎟

⎠

.

Если связь между 𝑋, 𝑌, 𝑍 и ξ, η, ζ задаётся уравнением (1) предыдущей теоремы, то мы можем записать

𝑉∇σ

=

𝑖ξ

+

𝑗η

+

𝑘ζ

(см. Теорему IV)

Таким образом, оказывается, что функции от 𝑋, 𝑌, 𝑍, фигурирующие в двух теоремах, получаются в результате действия оператора ∇ на вектор, компоненты которого суть 𝑋, 𝑌, 𝑍. А сами эти теоремы могут быть записаны так:

∭

𝑆∇σ

𝑑𝑣

=

∬

𝑆σ

𝑈

_ν

𝑑𝑠

(III)

и

∫

𝑆σ

𝑑ρ

=-

∬

𝑆∇σ

𝑈

_ν

𝑑𝑠

,

(IV)

где 𝑑𝑣 есть элемент объёма, 𝑑𝑠 -элемент поверхности, 𝑑ρ - элемент кривой, 𝑈_ν - единичный вектор в направлении нормали.

Для того чтобы понять смысл этих функций вектора, предположим, что σ₀ есть значение σ в точке 𝑃 и будем изучать величину σ-σ₀ в окрестности 𝑃. Если построить вокруг 𝑃 некоторую замкнутую поверхность, то при направленном внутрь поверхностном интеграле от σ, взятом по этой поверхности, величина 𝑆∇σ будет положительной и вектор σ-σ₀ около точки 𝑃 в целом будет направлен в сторону 𝑃, как это показано на рис. 1.

В связи с этим я предлагаю скалярную часть от ∇σ называть конвергенцией σ в точке 𝑃.

Для интерпретации векторной части ∇σ предположим, что вектор, имеющий компоненты ξ, η, ζ, направлен под прямым углом к плоскости листа вверх, и будем изучать вектор σ-σ₀ вблизи точки 𝑃. При этом окажется (см. рис. 2), что этот вектор в целом расположен тангенциально и направлен противоположно движению часовых стрелок.

Я предлагаю (с большой неуверенностью, однако) называть векторную часть ∇σ ротацией (ротором) σ в точке 𝑃.

На рис. 3 проиллюстрировано сочетание ротации и конвергенции.

Рассмотрим теперь смысл уравнения 𝑉∇σ=0.

Это уравнение означает, что либо величина ∇σ является скаляром, либо вектор σ есть пространственная вариация от некоторой скалярной функции Ψ.

26. Одно из наиболее замечательных свойств оператора ∇ состоит в том, что при повторном применении он превращается в оператор

∇²

=-

⎛

⎜

⎝

𝑑²

𝑑𝑥²

+

𝑑²

𝑑𝑦²

+

𝑑²

𝑑𝑧²

⎞

⎟

⎠

,

который встречается во всех разделах Физики и который мы можем называть Оператором Лапласа.

Сам по себе этот оператор существенно скалярный. Когда он действует на скалярную функцию, получается скаляр, а когда он действует на векторную функцию, получается вектор.