Трактат об электричестве и магнетизме

т.е. если единичный заряд, сообщённый проводнику 𝐴_𝑟 повышает потенциал изолированного проводника 𝐴_𝑠 до 𝑉, то единичный заряд, сообщённый проводнику 𝐴_𝑟, повышает потенциал изолированного проводника 𝐴_𝑠 до того же значения 𝑉 при условии, что все остальные проводники системы либо изолированы и не заряжены, либо заземлены, так что их потенциал равен нулю.

Здесь мы впервые встречаемся в области электричества с соотношением взаимности. Такие соотношения взаимности встречаются во всех областях знания и помогают нам часто находить решения новых задач по известным решениям более простых задач.

Так, из того факта, что в точке вне проводящей сферы с единичным зарядом потенциал равен 𝑟^-1, где 𝑟 - расстояние от центра сферы, мы заключаем, что малое тело с единичным зарядом, помещённое на расстоянии 𝑟 от центра проводящей незаряженной сферы, подымает её потенциал до значения 𝑟^-1.

Предположим теперь, что в начальном состоянии 𝑉_𝑟=1 и 𝑉_𝑠=0 а в конечном 𝑉'_𝑟=0 и 𝑉_𝑠=1, тогда уравнение (10) примет вид

𝑒

_𝑠

=

𝑒'

_𝑟

,

(12)

т.е. если при повышении потенциала 𝐴_𝑟 до 1 на заземлённом проводнике 𝐴_𝑠 индуцируется заряд 𝑒, то при повышении потенциала 𝐴_𝑠 до 1 на заземлённом проводнике 𝐴_𝑟 индуцируется такой же заряд 𝑒.

Наконец, сделаем третье предположение, что в начальном состоянии 𝑉_𝑟=1, a 𝑒_𝑠=0, а в конечном 𝑉_𝑟=0, а 𝑒'_𝑠=1; уравнение (10) принимает на этот раз вид

𝑒'

_𝑟

+

𝑉'

_𝑠

=

0.

Таким образом, если при незаряженном проводнике 𝐴_𝑠 повышение потенциала 𝐴_𝑟 до 1 приводит к повышению потенциала 𝐴_𝑠 до 𝑉, то при заземлённом проводнике 𝐴_𝑟 единичный заряд, сообщённый 𝐴_𝑠, индуцирует на проводнике 𝐴_𝑟 отрицательный заряд, численно равный 𝑉.

Во всех этих случаях часть остальных проводников может быть изолирована и не заряжена, остальные должны быть заземлены.

Третий рассмотренный случай является элементарной формой одной из теорем Грина. В качестве примера его применения предположим, что мы установили распределение электрического заряда на различных частях проводящей системы, находящейся под нулевым потенциалом, индуцированное единичным зарядом, сообщённым определённому телу системы 𝐴_𝑠.

Пусть η_𝑟 - заряд тела 𝐴_𝑟 при этих условиях. Тогда, если предположить, что на 𝐴_𝑠 заряда нет, а остальным телам сообщены различные потенциалы, то потенциал тела 𝐴_𝑠 будет

𝑉

_𝑠

=-

∑

(η

_𝑟

𝑉

_𝑟

)

.

(14)

Таким образом, если мы установили поверхностную плотность в любой точке полого проводящего сосуда, находящегося под нулевым потенциалом, обусловленную единичным зарядом, находящимся в заданной точке внутри сосуда, то, зная значение потенциала в каждой точке поверхности этого же размера и формы, что и внутренняя поверхность проводника, мы можем найти потенциал в точке внутри этой поверхности, где находился единичный заряд.

Следовательно, если потенциал известен во всех точках замкнутой поверхности, то его можно определить и в любой точке внутри, если внутри поверхности нет заряженных тел, и во всех точках снаружи, если снаружи нет заряженных тел.

Теория системы проводников

87. Пусть 𝐴₁, 𝐴₂, …, 𝐴_𝑛 - 𝑛 проводников произвольной формы, 𝑒₁, 𝑒₂, …, 𝑒_𝑛 - их заряды, a 𝑉₁, 𝑉₂, …, 𝑉_𝑛 - их потенциалы. Пусть диэлектрическая среда, разделяющая проводники, остаётся неизменной и не заряжается при рассматриваемых ниже операциях.

В п. 84 было показано, что потенциал каждого проводника является однородной линейной функцией от 𝑛 зарядов проводников. Следовательно, электрическая энергия системы, являющаяся полусуммой произведений потенциала каждого проводника на его заряд, должна быть однородной квадратичной функцией от 𝑛 зарядов типа

𝑊

_𝑒

=

1

2

𝑝₁₁

𝑒₁²

+

𝑝₁₂

𝑒₁𝑒₂

+

1

2

𝑝₂₂

𝑒₂²

+

𝑝₁₃

𝑒₁𝑒₃

+

+

𝑝₂₃

𝑒₂𝑒₃

+

1

2

𝑝₃₃

𝑒₃²

+ …

.

(15)

Индекс 𝑒 указывает, что 𝑊 представлено как функция зарядов. 𝑊 без индекса будет означать выражение (3), в которое входят и заряды и потенциалы.

Из выражения (15) можно найти потенциал любого проводника. Потенциал определяется как работа, необходимая для переноса единичного заряда из области нулевого потенциала в точку с данным потенциалом, а поскольку эта работа идёт на увеличение 𝑊, то достаточно продифференцировать 𝑊_𝑒 по заряду определённого проводника, чтобы найти его потенциал. Таким образом, получим систему 𝑛 линейных уравнений

𝑉₁

=

𝑝₁₁𝑒₁

+

…

+

𝑝

_𝑟

₁𝑒

_𝑟

+

…

+

𝑝

_𝑛

₁𝑒

_𝑛

,

…

…

…

…

…

…

𝑉

_𝑠

=

𝑝

_𝑠

₁𝑒₁

+

…

+

𝑝

_𝑟

_𝑠

𝑒

_𝑟

+

…

+

𝑝

_𝑛

_𝑠

𝑒

_𝑛

,

…

…

…

…

…

…

𝑉

_𝑛

=

𝑝

_𝑛

₁𝑒₁

+

…

+

𝑝

_𝑟

_𝑛

𝑒

_𝑟

+

…

+

𝑝

_𝑛

_𝑛

𝑒

_𝑛

,

(16)

выражающих 𝑛 потенциалов через 𝑛 зарядов.

Коэффициенты 𝑝_𝑟𝑠 называются коэффициентами потенциала. Каждый коэффициент имеет два индекса, первый из которых указывает на заряд, а второй - на потенциал.

Коэффициент 𝑝_𝑟𝑟 с одинаковыми индексами показывает величину потенциала проводника 𝐴_𝑟 при единичном заряде на нём и при нулевых зарядах на всех остальных проводниках. Существует 𝑛 таких коэффициентов по числу проводников.

Коэффициент 𝑝_𝑟𝑠 с разными индексами показывает величину потенциала на проводнике 𝐴_𝑠 при единичном заряде на проводнике 𝐴_𝑟 и при нулевых зарядах всех остальных проводников, кроме 𝐴_𝑟.

Мы уже показали в п. 86, что 𝑝_𝑟𝑠=𝑝_𝑠𝑟. Мы можем доказать это сейчас короче, рассмотрев цепочку равенств

𝑝

_𝑟𝑠

=

𝑑𝑉_𝑠

𝑑𝑒_𝑟

=

𝑑

𝑑𝑒_𝑟

𝑑𝑊_𝑒

𝑑𝑒_𝑠

=

𝑑

𝑑𝑒_𝑠

𝑑𝑊_𝑒

𝑑𝑒_𝑟

=

𝑝