Трактаты

Наимудрейший Евклид[39] заложил основы геометрии. Кто хорошо их понимает, тому совершенно не нужны эти написанные дальше вещи. Ибо они написаны только для юношей и для тех, кто не имеет хорошего учителя. Если хотят научить юношей измерению, необходимо, чтобы они узнали сначала, с помощью каких основ и каким образом производится измерение. В воображаемых или реально существующих предметах можно измерять три вещи: во-первых, длину, не имеющую ни ширины, ни толщины; во-вторых, длину, обладающую шириной; в-третьих, длину, имеющую и ширину, и толщину. Началом и концом всех этих вещей является точка. Точка же это такая вещь, которая не имеет ни величины, ни длины, ни ширины, ни толщины. И все же она есть начало и конец всех телесных вещей, которые могут быть сделаны или представлены в воображении. Как известно тем, кто понимает в этой науке, точка не занимает никакого места, ибо она неделима, однако в наших чувствах и мыслях она может быть помещена в любом конце или месте. Ибо я могу мысленно забросить точку высоко в воздух или поместить в глубину, которой я сам не могу достигнуть.

Но чтобы сделать это понятным юношам для их практической работы, я изображу для них точку прикосновением пера и напишу рядом слово «точка», дабы ее обозначить: точка • Если же теперь протянуть эту точку от ее первоначального места до другого конца, то это называется линией, и эта линия представляет собой длину без всякой толщины и ширины и может быть протянута сколь угодно далеко. Эту линию я нарисую здесь пером в виде прямого штриха и напишу на ней название «линия»: линия, дабы через посредство прямой черты можно было постигнуть разумом невидимую линию, ибо таким путем внутреннее понятие находит выражение во внешнем произведении. Поэтому я намереваюсь рисовать рядом все вещи, которые я буду описывать в этой книжечке, чтобы юноши видели все, что я делаю, изображенным перед глазами и тем лучше бы это поняли. Теперь следует заметить, что линии могут быть проведены различным образом, и особенно [важны] три линии, из которых можно многое сделать. Это, во-первых, прямая линия, во-вторых, линия окружности и затем еще кривая линия, которая делается от руки или может быть проведена от точки к точке, в чем некоторые проявляют искусство, выводя из нее много различий. И я не знаю лучшего наименования для такой кривой линии, нежели извилистая линия[40], ибо она может быть проведена туда и сюда, как угодно. И чтобы это было вполне понятно, я нарисовал их здесь внизу.

Типы линий

Следует заметить, что имевшиеся выше в виду три линии могут быть проведены длинными или короткими. И если стремиться достигнуть этого, не будучи стесненным временем, то прямая линия может быть продолжена бесконечно вовне или же она может быть представлена наименьшей. Ее можно применять трояким образом: как отвесную, поперечную[41] или косую. Линию же окружности можно употреблять целиком или частями. И она не может быть сделана более длинной, чем от начала и снова до того же места, где она началась; если же провести ее дальше, она опять вернется на прежний путь. Эта линия окружности может быть сделана большой или малой. Если же заставить ее подниматься вверх или опускаться вниз, то из нее получится извилистая линия. Извилистую же линию можно изменять бесконечно – в длину, вдаль, вверх или вниз, – благодаря чему можно сделать много удивительных вещей. И если, как известно, можно сделать много редкостных вещей при помощи одной только линии – о чем ничего не ведают те, кто об этом не размышляет, и здесь тоже об этом будет мало сказано, – нетрудно представить себе, чтó можно сделать с помощью двух, трех или многих линий, и особенно если применять вместе все три типа линий со всеми их разновидностями. Ибо можно сделать много таких линий, которые не могут быть проведены без помощи других. Также следует знать, что такое параллельные линии, называемые так по-латыни, которые я на нашем немецком языке буду называть парными[42]. Это такие линии, которые всегда идут на одном расстоянии друг от друга, будь то прямые, извилистые или линии окружности…[43]

Параллельные линии