Три дня в Карликании

Видите, всё меньше и меньше остаётся составных чисел в решете.

А дальше выбросим все числа, которые делятся на пять, потом те, что делятся на семь… Так постепенно из ряда натуральных чисел будут выбывать составные числа и оставаться простые, то есть те, которые делятся только сами на себя и на единицу.

Теперь мы уже знаем очень много простых чисел.

Вот первые из них:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97…

Эти-то числа, как видите, и стоят на левой стороне аллеи.

– Очень просто! – заявил Сева. – Я дома тоже устрою такую аллею и выпишу все-все простые числа…

– Не торопитесь, – перебила его Четвёрка. – Это не так легко: выписать все простые числа. Ведь чем больше число, тем сложнее определить – простое оно или составное. Если бы мы знали, в каком порядке они следуют друг за другом, это было бы замечательно! К сожалению, никто ещё до сих пор этот порядок установить не сумел. То простые числа стоят совсем рядом, их тогда называют близнецами, то между двумя ближайшими простыми числами образуется огромное расстояние, и оно сплошь заполнено составными числами. Люди очень далеко прошли по этой аллее, они знают множество простых чисел, и всё-таки не все!

– А может быть, дальше и нет ни одного простого числа? – усомнился Сева.

– Нет! Не может быть! – ответила Четвёрка. – Уже давным-давно один великий учёный, тоже грек, Эвклид, предшественник Эратосфена, доказал, что конца простым числам нет. Вот почему так озабочен наш добрый карликан! У него очень много дела. Только вчера в конце аллеи он увидел огромное простое число, а сегодня за этим числом стоит ещё большее: 170 141 183 460 469 231 731 687 303 715 884 105 727. А завтра, может, появится новое, если люди его вычислят. И так без конца. Есть отчего потерять голову. И говорить об этом тоже можно без конца… Давайте-ка лучше займёмся поисками бедного Нулика, – закончила свой рассказ Четвёрка.

– А мы как раз идём для этого в Рим, – сказал Сева.

– За Нуликом в Рим?! – удивилась Четвёрка. – Его там не может быть!

– А мы всё-таки пойдём! – упорствовал Сева.

– Как вам будет угодно! – согласилась наша проводница. – Желание гостя для нас закон.

…И совершенство

Мы свернули на маленькую улочку.

– Какая прелестная улица! – захлопала в ладоши Таня.

– Но это же улица Совершенства, – пояснила Четвёрка. – Здесь живут очень немногие числа. Но зато все они совершенные. Их так и зовут – совершенные числа. В отличие от простых, они-то уж обязательно делятся на всякие другие числа.

– Значит, они составные? – спросила Таня.

– Безусловно, составные. Но особенные. Совершенные числа равны сумме тех чисел, на которые делятся. Разумеется, кроме самих себя. Возьмём совершенное число – 6. На какие числа делится это число? На 1, на 2 и на 3. Теперь сложим эти три числа:

1 + 2 + 3 = 6

– Изумительно! – воскликнула Таня.

– Или вот другое совершенное число – 28, – продолжала Четвёрка. – Помните, какие у него младшие делители?

– Помним, – ответила Таня. – 1, 2, 4, 7 и 14.

– Сложите их:

1 + 2 + 4 + 7 + 14 = 28.

– Здóрово! – закричал Сева.

– Ага! – догадался Олег. – Значит, совершенные числа равны сумме всех своих младших делителей.

– Молодец! – похвалила Четвёрка.

– А много ли на этой улице совершенных чисел? – поинтересовался Сева.

– К сожалению, – сокрушённо вздохнула Четвёрка, – всего двадцать четыре: 6, 28, 496, 8 128, 130 816… Дальше они растут всё быстрее и быстрее, а вычислять их всё сложнее и сложнее. Эта улица только ещё заселяется. Если вам доведётся найти новое совершенное число, скажите ему, что здесь его ждут с нетерпением.

– Никогда не думал, что в Карликании так много интересных чисел, – задумчиво сказал Сева.

– Ах, это только малая крупица наших богатств! – с гордостью ответила Четвёрка. – Многим не хватает жизни, чтобы познакомиться со всеми. Вот, например, недалеко отсюда живут неразлучные друзья. Они так любят друг друга, что делятся всем, что имеют. Это числа 220 и 284. Они замечательны тем, что каждое из них равно сумме младших делителей другого. Какие делители у числа 284? 1, 2, 4, 71, 142. А у числа 220 делители: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110. Попробуем сложить делители каждого числа:

1 + 2 + 4 + 71 + 142 = 220,

1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 = 284.

Вот почему эти числа называются дружественными.

Недаром знаменитый греческий математик Пифагор сказал: «Друг – это второе я!» – и при этом сослался на числа 220 и 284.

А ведь таких чисел-друзей много!

Тут завязался разговор о дружбе, о верности. И мы не заметили, как очутились за городом.

Развалины Рима