Целостный метод – теория и практика

Множества операций W0 и предикатов Φ0 формируются в процессе создания систем S, S_a, S_e из элементарных систем: вводится отношение порядка ≤, определяется набор предикатов и соответствующие отношения на множестве-носителе, отвечающие выбранным предикатам и т.д. В результате формируются множества W и Φ систем S, S_а, S_e: W=W' ⋃ W0, Φ = Φ' ⋃ Φ0 и модели S, S_а, S_e приводятся к виду (4.4.1).

• Изоморфизм и декомпозиция моделей. Изоморфизмом системы S на системы S_а, S_e и др. будет взаимнооднозначное отображение множества-носителя системы S на множества-носители систем S_а, S_e и др., сохраняющее главные операции и предикаты модели (4.4.1).

Изоморфизм рассмотрим на графовых моделях систем, процессов, структур. Два графа G₁ = G₁(V₁, H₁) и G₂= G₂(V₂, H₂) считаются изоморфными, если существует взаимооднозначное отображение такое, что V₁ взаимнооднозначно отображается на V₂ и H₁ взаимнооднозначно отображается на H₂, т.е. каждой вершине из V₁ соответствует одна и только одна вершина из V₂ и наоборот, а каждому ребру из H₁ соответствует одно и только одно ребро из H₂ и наоборот, каждому ребру из Н₂ соответствует одно и только одно ребро из Н₁.

Графы процессов и структур определим следующим образом:

G (P) = G (B,D), G(P_a)=G(B₀, ∆_d), G(P_e)= G(∆_в, D₀),

G( C) = G (A, E), G(Ca) = G (A₀, ∆_e), G (C_e)=G(∆_a, E₀).

Сформулируем следующий результат.

Теорема 4.4.9.Графы G(Р), G(С), G(P_a), G(P_e), G(C_a), G(C_e) изоморфны.

Доказательство его следует из очевидного здесь факта: изоморфны между собой множества в каждой тройке множеств: В, В₀, ∆_в; A, A_о, ∆_a; D, D₀, ∆_d; E, E₀, ∆_e.

Графы систем определим следующим образом, как прямые суммы:

G (S) = G (P) ⋃ G ( C);

G (S_a) = G(P_a) ⋃ G (C_a);

G(S_e) = G(P_e) ⋃ G(C_e).

Теорема 4.4.10. Графы G(S), G(S_a), G(S_e) изоморфны.

Эти графы изоморфны, так как в соответствии с предыдущим результатом изоморфны их части, не пересекающиеся по вершинам и ребрам.

Графы процесса и структуры также могут быть представлены в виде прямых сумм частей, не пересекающихся по вершинам и ребрам:

G (P) = G(P_a) ⋃ G (P_e); G(C) = G (C_a) ⋃ G(C_e).

В силу этого можно сформулировать

Теорема 4.4.11.Графы G (S), G(S_a), G(S_e), G(P), G(C) изоморфны.

• Полученные результаты позволяют сформировать следующую процедуру декомпозиции при исследовании систем. Вполне очевидно, что переход от графа G (S) к графу G(S_a) или G(S_e) означает переход от более сложных задач к более простым. В то же время модель любого системного объекта, в том числе S_a и S_e, можно представить в виде модели полной системы и вновь разложить его на модели G(S_a), G(S_e) и др. Новая декомпозиция будет означать дальнейшее упрощение задач исследования системы. В то же время при повторной декомпозиции модели, как и при первой., вновь будут определены отношения взаимосвязи между частями модели. Сохраняя отношения взаимосвязи на каждом этапе, можно перейти к системе с более простыми задачами исследования – к «простой» системе, задачи которой разрешимы для исследователя. Затем можно, используя отношения взаимосвязи, перейти к решению задач исходной системы, как к некоторой композиции задач «простых» систем. Возможно, что «простая» система – это система, в которой нецелесообразно выделение дополнительной системы.

При такой декомпозиции не нарушается структура и процесс исследуемой системы, производится как бы расслоение системы. Образно можно определить, что это расслоение модели системы, декомпозиция «по толщине», возможная для математических моделей любых систем, когда каждая вершина и ребро графовой модели могут «расслаиваться» на две части в соответствии с определениями (4.4.5) – (4.4.7). Описанный способ декомпозиции вполне применим и в сочетании с известными методами.

• Алгоритм применения математических моделей. Рассмотрим на следующих примерах. Итак, в общем случае математические модели системы, процесса, структуры, элемента, элементарной структуры, элементарного процесса состоят из двух частей: одна основная, предназначена для реализации целей создания системы (S_a, P_a, C_a и др.), другая служит для обеспечения процессов взаимодействия в системе (S_e, P_e, C_e и др.).