Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

Тригонометрия помогает увидеть, что закон, которому подчиняются площади многоугольников, определяется синусами углов вида π/(2ⁿ). Этот закон позволяет найти площадь круга S_c:

Компьютер способен вычислить площадь многоугольника с 1024·2¹⁰ сторонами по предыдущей формуле и показать, что результат близок к ожидаемому: S₁₀₂₄ = 3,1415923…

* * *

Круг — простейшая из криволинейных фигур. Как же вычислить площадь любой другой фигуры? Зная формулу, которая описывает часть кривой, ограничивающей фигуру, математики могут найти площадь этой фигуры с помощью метода, схожего с методом Архимеда. Допустим, что мы хотим найти площадь фигуры, ограниченной осью абсцисс и кривой у = х³ между началом координат (0,0) и точкой (1,0).

Эта фигура на иллюстрации выделена серым цветом:

Первым приближением искомой площади будет площадь прямоугольного треугольника с вершинами в точках (0,0), (1,0) и (1,1), равная 1/2. Однако это значение чрезвычайно далеко от истинного.

Метод, о котором мы расскажем далее, называется методом исчерпывания. Архимед использовал его более 2000 лет назад для вычисления площади, ограниченной участком параболы. Первым приближением площади искомой фигуры была площадь треугольника, по форме напоминающего эту фигуру. Теперь мы будем вычислять площадь прямоугольника.

Разделим интервал [0,1] на четыре равных интервала и построим на каждом из них по два прямоугольника — высота одного из них будет равна значению функции на левом конце интервала, высота другого — значению функции на правом конце интервала. Так как f(0) = 0³ = 0, высота первого прямоугольника будет равна 0:

Искомая площадь S заключена между суммой площадей меньших прямоугольников S₁ (выделены светло-серым) и больших прямоугольников S_s  (выделены темно-серым). Точнее говоря, искомая площадь будет больше первого значения и меньше второго. Вычислим обе эти площади с учетом того, что основания всех прямоугольников одинаковы и равны 1/4, отличаются лишь их высоты:

Среднее значение этих площадей равно: S ~= (S₁ + S_s)/2 = 0,265625. Найдем более точное значение площади, разбив исходный интервал на большее число частей:

Теперь основания всех прямоугольников равны 1/8. И вновь сумма площадей прямоугольников, выделенных темно-серым (S_s), будет больше искомой площади, которая превышает сумму площадей прямоугольников, выделенных светло-серым (S₁).

Их среднее значение равно:

S ~= 0.5·(S_s + S₁) = 0,2539…

Если мы продолжим этот процесс и будем последовательно делить интервал [0,1] на все более мелкие части, то в пределе мы разделим его на бесконечное число частей, получим бесконечное число прямоугольников, а сумма их площадей будет равна площади фигуры, заключенной между графиком кривой и осями координат.

Вопрос в том, как вычислить общую площадь бесконечного числа прямоугольников. Произведенные выше расчеты показывают, что искомое значение должно быть близко к 0,25, так как промежуточные результаты равны 0,2656… и 0,2539…

Чтобы получить окончательный ответ, рассмотрим, как мы вычислили два предыдущих значения. Вне зависимости от числа прямоугольников, будь их восемь, сто, тысяча или n, сумма их площадей будет рассчитываться одинаково. Значение площади S_s при разделении интервала [0, 1] на n равных частей будет равно:

Следовательно, задача сводится к тому, чтобы найти значение этого выражения, когда n стремится к бесконечности. Посмотрим, чему равен его числитель, представляющий собой сумму кубов натуральных чисел:

1³ = 1

1³ + 2³ = 9

1³ + 2³ + 3³ = 36

1³ + 2³ + 3³ + 4³ = 100

Числитель будет равен 1, 9, 36, 100, … — это квадраты чисел 1, 3, 6, 10, … Может показаться, что суммы кубов натуральных чисел равны квадратам некоторых других чисел. Но каких? Какой ряд образуют числа 1, 3, 6, 10, …? Заметим, что

1 = 1

1 + 2 = 3

1 + 2 + 3 = 6

1 + 2 + 3 + 4 = 10.

Можно сформулировать теорему:

Сумма кубов первых n натуральных чисел равна квадрату их суммы.

Правильность этой теоремы можно подтвердить экспериментально для множества чисел — компьютер справится с этим за несколько мгновений. Однако экспериментальное подтверждение частных результатов и выведение из них какого-то общего принципа (именно так действуют физики и биологи) для математиков неприемлемо. В математике истинность увиденного нужно подтвердить для всех возможных случаев.

Как подтвердить истинность нашей теоремы для всех возможных случаев? Начнем с того, что вычислим сумму первых n натуральных чисел. Для этого применим метод, который использовал великий немецкий математик Карл Фридрих Гаусс, когда ему не было и десяти лет. Его биографы отмечают, что как-то раз преподаватель, чтобы занять учеников, дал им задание вычислить сумму натуральных чисел от 1 до 100.