Творчество в математике. По каким правилам ведутся игры разума

По-видимому, мастера действовали точно так же. Однако суть задачи заключалась в другом: если нужные точки не совпадали, это означало, что я определил середину панели неверно. Как исправить эту ошибку? Мастера работали так быстро, что было сложно уследить, в чем заключалась суть их метода. Казалось, что они, на основе проб и ошибок, несколько раз отмечали нужную точку, пока не получали желаемый результат. Но как им удавалось без всяких расчетов находить нужные точки так быстро? Возможно, я недооценивал их метод, и он был намного эффективнее, чем мне казалось?

На следующее утро мы сели в автобус. Был солнечный день, нас ожидала долгая дорога, поэтому в начале пути я занимал себя тем, что наблюдал, как просыпалась жизнь на рисовых полях и в деревнях, мимо которых мы проезжали. Я чувствовал себя прекрасно, и мой разум переключался между реальностью и выдумкой.

Я попеременно видел сначала то, что в действительности находилось передо мной, затем — какие-то воображаемые картины. Внезапно у меня возник вопрос: как исправить ошибку измерений и получить точный результат?

Я вновь представил себе мастеров за работой, с бамбуковой рейкой в одной руке и с карандашом — в другой. Я отметил середину рейки на глаз, затем перенес отметку на край деревянной панели. Затем я сдвинул рейку до конца. Конец рейки и край панели не совпали — я ошибся, но… Эврика! Как же я раньше не додумался? Чтобы исправить ошибку, нужно было найти половину допущенной ошибки и прибавить (или вычесть) ее к исходной оценке в зависимости от того, в какую сторону я ошибся — в большую или в меньшую. Так я нашел решение: эта сумма или разность половин и была равна искомой половине стороны панели. Если же панели требовалось разделить на три части, следовало действовать так же: нужно было прибавить или отнять треть величины, на которую мы ошиблись. Если, повторив эти действия дважды, я не получал удовлетворительный результат, следовало повторить все с самого начала.

Мастер исправляет ошибку, допущенную при измерении на глаз.

Пусть L — длина отрезка, который мы хотим разделить на три части. Сначала определим треть отрезка на глаз. Отметим на отрезке три точки, обозначающие отрезки длиной a₁, 2a₁ и 3a₁ (см. рисунок на следующей странице).

Если последняя точка совпадает с концом отрезка, то наше решение верно. В противном случае требуется исправить допущенную ошибку Е. Как это сделать? Нужно найти ее треть, Е/3, и прибавить или отнять ее от первой оценки at в зависимости от того, в какую сторону мы ошиблись, большую или меньшую:

а₁ ± E/3.

Мы получим новую оценку, а₂, затем повторим эти же действия сначала.

Последовательные оценки образуют ряд, сходящийся к правильному результату, так как найти середину или треть очень маленького отрезка, длина которого равна величине ошибки, намного проще, чем найти длину исходного отрезка. У мастеров был острый взгляд, поэтому описанный выше алгоритм должен был привести к желаемому результату. Так и происходило.

Как рассуждают мастера?

Математический анализ задачи подтвердил мои ожидания: числовой ряд сходился к желаемому результату. Тогда я задал себе еще один, возможно, более сложный вопрос, который, однако, был крайне важен в моих исследованиях, посвященных математическим методам мастеров тораджи: думают ли они так же, как я? Я не мог просто подойти и задать им этот вопрос. Нужно было сделать так, чтобы они сами объяснили, как они рассуждают, решая эту задачу.

Некоторые из мастеров немного говорили по-индонезийски, но большинство общалось только на местном наречии тораджи. Раньше я пользовался услугами переводчика на английский, но иногда замечал, что он, вместо того чтобы переводить то, что говорил мастер, приводил собственную трактовку его слов. Сейчас я не мог допустить подобного. Я немного понимал по-индонезийски и решил еще немного подучить язык, чтобы поговорить с авторами гравюр. А то, что я уже был знаком с некоторыми из них, должно было помочь в общении. Так происходило межкультурное взаимодействие.

Деление отрезка на равные части неевклидовым методом

Мне стоило немалых трудов объяснить одному из мастеров суть моего вопроса, и в итоге он подтвердил, что при делении отрезка на равные части он рассуждал точно так, как я и представлял. На это указывали все выполняемые им действия, но я хотел, чтобы мастер изложил ход своих мыслей полностью, поэтому я решил действовать как ученик и попросил его объяснить, как он работает. Я решил приступить к работе сам, взял инструменты, с которыми работали мастера, и начал делить деревянную панель на равные части. Потом я спросил, что нужно делать, если я ошибся при делении отрезка на две части, и получил ответ: «Разделить излишек на две части». Затем я уточнил, что делать, если отрезок нужно разделить на три части, и получил ответ: «Точно так же — разделить излишек на три части».