У интуиции есть своя логика. Гёдель. Теоремы о неполноте.

Если сравнить последнее высказывание с тем, как мы формулировали G, оказывается ясным, что оно соответствует не-G. Получается, мы говорим, что G и не-G одновременно доказуемы. Мы пришли к противоречию. Оно возникает из предположения, что G доказуемо, следовательно делаем вывод: G недоказуемо (см. схему на предыдущей странице).

— Шаг 7: Теперь докажем, что не-G также недоказуемо. Снова сделаем это от противного. Предположим, что не-G доказуемо, и придем к противоречию. Так как множество аксиом непротиворечиво, если не-G доказуемо, то G не может быть доказуемым.

ОМЕГА-НЕПРОТИВОРЕЧИВОСТЬ

Когда мы показали, что высказывание не-G недоказуемо, мы основывались на том факте, что если для свойства Р верно

высказывание "1 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо,

высказывание "2 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо,

высказывание "3 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо

...и так далее,

то высказывание "существует некое х, удовлетворяющее свойству Р" недоказуемо. Но так ли это? Сначала рассмотрим этот вопрос семантически. Предположим, что Р — арифметическое свойство, для которого выполняется:

высказывание "1 не удовлетворяет свойству Р" истинно,

высказывание "2 не удовлетворяет свойству Р" истинно,

высказывание "3 не удовлетворяет свойству Р" истинно

...и так далее,

то есть для любого числа л справедливо, что свойство Р не выполняется. Тогда ясно, что высказывание "существует некоторый х, для которого выполняется свойство Р" ложно (поскольку мы сказали, что ни для 1, ни для 2, ни для 3 и так далее свойство не выполняется). Но оно ложно, если мы говорим о мире натуральных чисел, и может быть истинным, когда говорим о другом мире. Например, если свойство Р — это "х^2 = 2", а мы говорим о мире чисел, образованных на основе 2, то для 1 свойство не выполняется, как и для 2, 3 и так далее. Но для 2 свойство Р выполняется. Что же происходите синтаксической точки зрения? Рассмотрим снова свойство Р, но теперь предположим, что:

"1 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо,

"2 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо,

"3 не удовлетворяет свойству Р" доказуемо

...и так далее.