Учимся читать быстро

Алгебраическое выражение . Выражение может считаться алгебраическим только в том случае, если в его записи указаны лишь алгебраические действия, т. е. сложение, вычитание, умножение, деление, возведение в степень с рациональным показателем и извлечение корня. Все остальные действия, например возведение в степень тригонометрической функции, не относятся к алгебраическим.

Если в алгебраическом выражении используется извлечение корня из переменных или возведение переменных в дробную степень, то такое алгебраическое выражение называется иррациональным, или трансцендентным. Все алгебраические выражения делятся на рациональные и иррациональные. В рациональное могут входить лишь 4 арифметических действия и возведение в степень с рациональным показателем.

Треугольник . Треугольником называется фигура, состоящая из трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех отрезков, соединяющих эти точки попарно. Три точки называются вершинами треугольника, три отрезка – его сторонами.

Для обозначения треугольника указываются его три вершины. Стороны треугольника обозначаются двумя буквами, являющимися соответствующими вершинами.

Угол треугольника . Углом треугольника при данной вершине называется угол, образованный полупрямыми, выходящими из этой вершины.

Высота треугольника . Высотой треугольника, опущенной из данной вершины, называется перпендикуляр, проведенный из этой вершины к противолежащей стороне треугольника.

Биссектриса треугольника . Биссектрисой треугольника называется отрезок биссектрисы угла треугольника, который соединяет вершину с точкой на противолежащей стороне.

Медиана треугольника . Медианой треугольника, проведенной из данной вершины, называется отрезок, соединяющий эту вершину с серединой противолежащей стороны. В каждом треугольнике имеется три медианы, три биссектрисы и три высоты.

Средняя линия треугольника . Средняя линия треугольника – это отрезок, соединяющий середины двух его сторон.

Средняя линия треугольника, соединяющая середины двух данный сторон, параллельна третьей стороне и равна ее половине.

Равные треугольники . Треугольники называются равными, если равны их соответствующие стороны и углы.

Каков бы ни был треугольник, существует равный ему треугольник в заданном расположении относительно данной полупрямой.

Признаки равенства треугольников .

1. Если две стороны и угол между ними одного треугольника соответственно равны двум сторонам и углу между ними другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если стороны и прилежащие к ней углы одного треугольника соответственно равны стороне и прилежащим к ней углам другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если три стороны одного треугольника соответственно равны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники равны.

Равнобедренный треугольник . Треугольник называется равнобедренным, если у него две стороны равны. Эти стороны называются боковыми сторонами равнобедренного треугольника, а третья сторона называется его основанием.

В равнобедренном треугольнике углы при основании равны. Если в треугольнике два угла равны, то он равнобедренный. В равнобедренном треугольнике медиана, проведенная к основанию, является биссектрисой и высотой. Осью симметрии равнобедренного треугольника является биссектриса (медиана, высота) при его вершине.

Равносторонний треугольник . Треугольник, у которого все стороны равны, называется равносторонним. У равностороннего треугольника все биссектрисы являются медианами и высотами. Это справедливо для любого треугольника. Из утверждения следует, что у треугольника хотя бы два угла острые.

Теорема о внешнем угле треугольника . Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.

Прямоугольный треугольник . Треугольник называется прямоугольным, если у него есть прямой угол. Стороны треугольника имеют свои названия: гипотенуза – это сторона, противолежащая прямому углу, катеты – две стороны, образующие вместе прямой угол.

Катет, противолежащий этому углу, равен половине гипотенузы.

Признаки равенства прямоугольных треугольников .

1. Если гипотенуза и острый угол одного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

2. Если катет и противолежащий ему угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и противолежащему углу другого треугольника, то такие треугольники равны.

3. Если гипотенуза и катет одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и катету другого треугольника, то такие треугольники равны.

Теорема Пифагора . В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Синус . Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего катета к гипотенузе.

Косинус . Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс . Тангенсом острого угла называется отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс . Котангенсом острого угла называется отношение прилежащего катета к противолежащему.

Их можно определить по таблице.

Теорема косинусов . Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон без удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.

Теорема синусов . Отношение одной стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно отношению другой стороны к синусу соответствующего противолежащего угла.

Площадь треугольника . Площадь треугольника равна половине произведения его стороны на высоту, проведенную к этой стороне. Также площадь треугольника можно найти как половинное произведение двух сторон на синус угла между ними. Справедлива и формула Герона, в которой используется значение полупериметра треугольника.

Подобные треугольники . Два треугольника называются подобными, если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника и стороны одного пропорциональны соответствующим сторонам другого треугольника.

Если в треугольнике провести любую прямую, параллельную основанию, то отсекаемый ею треугольник будет подобен исходному с коэффициентом подобия k. Это коэффициент равен отношению соответствующих сторон треугольников.

Построить треугольник, подобный данному, зная коэффициент подобия, значит подобно преобразовать этот треугольник.

Признаки подобия треугольников .

1. Два треугольника подобны, если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого.

2. Два треугольника подобны, если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, лежащие между ними, равны.

Свойство биссектрисы внутреннего угла треугольника . Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противолежащую сторону на части, пропорциональные прилежащим сторонам. Предположим, дан треугольник АВС, в нем проведена биссектриса BD угла АВС. В этом случае верно будет равенство AD / DC = AB / BC.

Средние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике . Понятие среднего пропорционального отрезка в прямоугольном треугольнике раскрывается следующим образом: отрезок является средним пропорциональным между двумя данными отрезками, если его квадрат равен произведению величин этих двух отрезков.

Если в прямоугольном треугольнике высота опущена на гипотенузу, то эта высота является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу. Каждый из катетов в этом случае является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.